Una caracterización geométrica para el género aritmético

Question

Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva suave sobre $\mathbb{C}$ . Toda la información siguiente es equivalente (cualquiera de estos números puede calcularse mediante una ecuación lineal a partir de cualquiera de los otros):

1. el género aritmético de $X$
2. el coeficiente constante del polinomio de Hilbert de $X$
3. $\chi(X, \mathscr{O}_X)$
4. el "género Todd" $\int_X \operatorname{td}(T_X)$ , donde $T_X$ es el haz tangente de $X$ y $\operatorname{td}$ denota la clase Todd.

¿Existe una caracterización geométrica para alguno de estos números?

Si he entendido bien, las clases características (y en particular, las clases Todd) pueden definirse completamente a partir de la topología de $X$ o al menos su estructura como colector suave. [ Editar : Esto no es cierto --ver la respuesta de "anónimo". Si he entendido bien, la clase Todd de un haz vectorial complejo es un invariante suave. Sin embargo, diferentes estructuras complejas en la misma variedad real $X$ puede dar lugar a estructuras de haces vectoriales complejos no isomórficos en $T_X$ de hecho, una estructura de haz vectorial complejo en $T_X$ es, por definición, una estructura casi compleja en una variedad real $X$ .] Así, en cierto sentido, el punto 4 proporciona una "caracterización geométrica" para el género aritmético de $X$ (y los demás elementos de la lista). Sin embargo, personalmente considero que esta descripción se abstrae tanto de las propiedades geométricas reales de $X$ como para ser apenas geométrico. (Si alguien no está de acuerdo conmigo y puede articular una intuición geométrica para el género Todd, sería una respuesta razonable).

En comparación, sí considero "geométricas" las siguientes caracterizaciones de diversas propiedades:

• El número de auto-intersección de la incrustación diagonal de $X$ en $X \times X$ . (la característica de Euler)
• El número de puntos en los que se encuentra un espacio lineal general de dimensión complementaria $X \subset \mathbb P^n$ . (el grado de $X \hookrightarrow \mathbb P^n$ )
• El género de la curva $X \cap L$ , donde $L$ es un espacio lineal general de dimensión uno mayor que $\operatorname{codim} X$ . (No conozco un nombre estándar para esto, pero en un sentido particular, es uno de los coeficientes del polinomio de Hilbert de $X$ .)
• El número máximo de copias de $S^1$ que puede ser eliminado de $X$ sin desconectarlo. (el género de $X$ si $X$ es una curva suave, es decir, una superficie de Riemann)

Obsérvese que tanto el primer punto como el último dan una caracterización geométrica para (información equivalente a) el género de una curva. Sin uno de ellos, no consideraría el tercer punto una "caracterización geométrica" de nada. En cierto modo, esto proporciona parte de mi motivación para hacer esta pregunta. Sea $L_k$ sea un espacio lineal general de codimensión $k$ en $\mathbb P^n$ . Si no me equivoco, conocer el polinomio de Hilbert para $X$ equivale a conocer el género aritmético de $X \cap L_k$ para cada $k \leq n$ tal que esta intersección es no vacía, mediante la fórmula $$ \chi(\mathscr O_X(n)) = \sum_{k \ge 0} \chi(\mathscr O_{X \cap L_k}) \binom{n+k-1}{k}\;\text.$$

Así, una caracterización geométrica para el género aritmético daría automáticamente una caracterización geométrica para el polinomio de Hilbert. (De nuevo, en cierto sentido, esto ya lo proporciona el Teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch; pero encuentro esta fórmula tan abstraída que apenas es geométrica).

Answer 1

En primer lugar, permítanme señalar que hay un desafortunado choque terminológico: el género aritmético de una variedad proyectiva compleja lisa $X$ de dimensión $n$ puede significar

a) El número $\chi (X, \mathcal O_X)$ el número aritmético de Hirzebruch que le interesa.
b) El número $p_a(X)=(-1)^n(\chi (X, \mathcal O_X)-1)$ , el género aritmético de Severi, que tiene un precedente histórico pero que, por supuesto, fue definido de forma no cohomológica.
Por ejemplo, para el espacio proyectivo tenemos $\chi (\mathbb P^n, \mathcal O_{\mathbb P^n})=1$ pero $p_a (\mathbb P^n)=0$ .

Hirzebruch introdujo su definición principalmente porque tiene la poderosa propiedad de multiplicatividad $$\chi (X\times Y,\mathcal O_{X\times Y})= \chi (X,\mathcal O_{X})\cdot \chi ( Y,\mathcal O_{ Y})$$ que ciertamente es un paso hacia la interpretación geométrica que buscas.

Otro paso en la dirección correcta es que para una cobertura finita $X\to Y$ de grado $d$ tenemos la agradable relación $\chi (X,\mathcal O_{X})=d\cdot \chi ( Y,\mathcal O_{ Y})$ .
Pero la propiedad geométrica más importante es que $\chi (X,\mathcal O_{X})$ es un invariante biracional, porque cada número $dim_\mathbb C H^i(X,\mathcal O_{X})$ es ya un invariante biracional.

El género aritmético es razonablemente fácil de calcular: para una hipersuperficie $H\subset \mathbb P^n$ de grado $d$ tienes $p_a(H)=\binom {d-1}{n}$ que para $n=2$ da la conocida fórmula elemental $p_a(C)=\frac {(d-1)(d-2)}{2}$ para la curva plana $C$ .
[Esta fórmula (y otras) se puede encontrar en Hartshorne, capítulo I, ejercicio 7.2, página 54]
Para una superficie se tiene la fórmula de Max Noether $\chi (S, \mathcal O_S)=\frac {c_1^2(S)+c_2(S)}{12}$ , donde $c_2(S)$ (=segunda clase de Chern de $S$ ) es también el puramente topológico Característica de Euler-Poincaré de $S$ , igual a la suma alternada de los números de Betti del espacio topológico subyacente. $S_{top}$ .

Finalmente, Fulton ha dado una caracterización axiomática del género aritmético en geometría algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado arbitrario aquí .
En cierto sentido, puede considerarse una explicación del significado geométrico del género aritmético: si quieres que satisfaga ciertas propiedades geométricas, la definición es forzada.

Editar (añadido por Charles con el permiso de Georges): La caracterización axiomática de Fulton puede describirse como sigue: Existe una asignación única de un número $\mathcal{A}(X)$ a toda [variedad proyectiva lisa irreducible sobre un campo fijo algebraicamente cerrado] (en adelante simplemente "variedad"), tal que se satisfacen los tres axiomas siguientes:

1. $\mathcal{A}$ respeta las clases de isomorfismo.
2. Si $X$ es un punto, entonces $\mathcal{A}(X) = 1$ .

3. Dejemos que $X$ , $Y$ y $Z$ sean variedades (lisas) de la misma dimensión. Supongamos que $X$ , $Y$ y $Z$ se pueden incrustar como subvariedades de codimensión uno de una variedad común (lisa) $W$ , de tal manera que

   • $X$ y $Y+Z$ son linealmente equivalentes como divisores en $W$ y
   • $Y$ y $Z$ se cruzan transversalmente en una unión disjunta de variedades (lisas) $V_1, \dotsc, V_{\ell}$ .

   Entonces $$\mathcal{A}(X) = \mathcal{A}(Y) + \mathcal{A}(Z) - \sum_i \mathcal{A}(V_i).$$

Esta tarea requiere $X$ a su "número aritmético de Hirzebruch" $\mathcal{A}(X) = \chi(X, \mathcal{O}_X)$ .

Answer 2

No es cierto que cantidades como el género de Todd (o el género aritmético) dependan únicamente de la variedad lisa subyacente. Hay ejemplos de variedades difeomórficas de Kaehler con diferentes géneros de Todd. Consulte los siguientes artículos para obtener más información:

D. Kotschick, Topologically invariant Chern numbers of projective varieties, Adv. Math. 2012, doi 10.1016/j.aim.2011.10.020

D. Kotschick y S. Schreieder, The Hodge ring of Kaehler manifolds, Compos. Math. 2013, doi 10.1112/S0010437X12000759