Distribución en $n$ -bola de dimensiones

Question

De un $n$ -de radio $\sqrt{n}$ , elige al azar un punto $(x_1, .., x_n)$ . Demuestre que con $n \to \infty$ la variable aleatoria $x_1$ tiende a una variable aleatoria con una distribución normal.

Answer 1

Podemos escribir el pdf marginal de $X_1^{(n)}$ : $$f_{X_1^{(n)}}(x)=\begin{cases} \dfrac{V_{n-1}(\sqrt{n-x^2})}{V_n(\sqrt{n})} & x^2<n\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ donde $V_n(R)$ es el volumen de la bola de radio $R$ en Euclides $n$ -espacio $$V_n(R)=\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}2+1)}R^n.$$ Así que para $n>x^2$ , $$\begin{align*} f_{X_1^{(n)}}(x)&=\frac{\dfrac{\pi^{(n-1)/2}}{\Gamma(\frac{n+1}2)}(n-x^2)^{(n-1)/2}}{\dfrac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}2+1)}\sqrt{n}^n}\\ &=\underbrace{\left[\dfrac{\Gamma(\frac{n}2+1)}{\sqrt{n\pi}\Gamma(\frac{n+1}2)}\right]}_{\to\frac1{\sqrt{2\pi}}}\underbrace{\left(1-\frac{x^2}{n}\right)^{(n-1)/2}}_{\to\exp(-x^2/2)}.\\ &\to\frac1{\sqrt{2\pi}}\exp(-x^2/2) \end{align*}$$ Por lo tanto, $X_1^{(n)}\xrightarrow{D}N(0,1)$ como $n\to\infty$ .

Answer 2

Un poco menos computacional que la respuesta de user10354138, pero con los mismos fundamentos de cálculo:

Puede escribir su $x=(x_1,\ldots,x_n)$ como $\sqrt n R_n Z/\| Z\|_2$ , donde $Z=(Z_1,\ldots,Z_n)\sim N(0,I_n)$ es un vector gaussiano estándar en $\mathbb R^n$ y donde $R_n$ independientemente de $Z$ tiene una función de densidad $n r^{n-1}$ en $[0,1]$ .

La idea es que $Z/\|Z\|_2$ se distribuye uniformemente en la esfera unitaria en $n$ -espacio, que $R_n Z/\|Z\|_2$ se distribuye uniformemente en la bola unitaria, y el factor $\sqrt n$ es lo que se necesita para dar el límite de distribución. La función de distribución acumulativa para $R_n$ est $F_R(r)=P(R_n\le r) = r^n$ , para $0\le r \le 1$ ya que la relación entre el volumen del radio $r$ bola al radio $1$ la pelota es $r^n$ , en $n$ -espacio. La densidad de $R_n$ es la derivada de esto, $nr^{n-1}$ en $[0,1]$ .

Así que el primer componente, $x_1$ tiene la misma distribución que $R_n Z_1/ \sqrt{\|Z\|_2^2/n}.$ La relación $\|Z\|_2^2/n=\sum_i^n Z_i^2/n$ tiende, por la ley débil de los grandes números, a $1$ en probabilidad como $n\to\infty$ . Y $R_n$ tiende a $1$ en la probabilidad, también. Por el teorema de Slutsky, entonces, la distribución de $R_n Z_1/ \sqrt{\|Z\|_2^2/n}$ tiende a la de $Z_1$ es decir, a $N(0,1)$ .