Cómo demostrar que $f(x)=\frac{\arcsin x}x$ es creciente cuando $x\ge0$ ?

Question

Cómo demostrar que $f(x)=\frac{\arcsin x}x$ es creciente cuando $x\ge0$ ?

Mi intento :

$f'(x)=\frac{\frac x{\sqrt{1-x^2}}-\arcsin x}{x^2}$

Desde $0\le x\le1\implies0\le\sqrt{1-x^2}\le1$

Y $0\le\arcsin x\le1.57$

Pero no es capaz de demostrar que $f'(x)\ge0$

Answer 1

Después del comentario de copper.hat,

poniendo $x=\sin t$ ,

$f'(\sin t)=\frac{\tan t-t}{\sin^2t}$

Cuando $t\ge0, \tan t\ge t\implies f'(\sin t)\ge0\implies f'([0,1])\ge0\implies f'(x)\ge0$

Así, $f(x)$ es una función creciente.

Answer 2

También puede encontrar una ampliación de la serie de $\arcsin(x)$ de la siguiente manera:

$$\sqrt{1+x}=1+\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+\frac{x^3}{16}-\dots$$ Poner $x=\frac{t^2}{1-t^2}$ y tenemos $$\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}=1+\frac{t^2}{2}+\frac{3t^4}{8}+\frac{5t^6}{16}+\dots$$ Ahora integrando tenemos $$\arcsin(x)=\int_0^x\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt=x+\frac{x^3}{6}+\frac{3x^5}{40}+\frac{5x^7}{112}+\dots$$ y así $$\frac{\arcsin(x)}{x}=1+\frac{x^2}{6}+\frac{3x^4}{40}+\frac{5x^6}{117}+\dots$$ que es claramente creciente para $x\geq 0$ .

Answer 3

Queremos demostrar que $\frac {\arcsin x} x \leq \frac {\arcsin y} y$ si $0 \leq x\leq y$ . Esto se puede escribir como $y \arcsin x \leq x\arcsin y$ . La derivada de $y \arcsin x - x\arcsin y$ por ejemplo $y$ est $\arcsin x -\frac x {\sqrt {1-y^{2}}}$ . Si mostramos que esto es no positivo podemos terminar la prueba observando que $y \arcsin x - x\arcsin y$ desaparece cuando $y=0$ . Así que tenemos que demostrar que $\arcsin x -\frac x {\sqrt {1-y^{2}}} \leq 0$ . Para esta diferenciación con respecto a $x$ . La derivada es $ \frac 1 {\sqrt {1-x^{2}}} -\frac 1 {\sqrt {1-y^{2}}}$ que no es positivo para $x \leq y$ . Desde $\arcsin x -\frac x {\sqrt {1-y^{2}}}=0$ cuando $x=0$ hemos terminado.

Answer 4

También se puede argumentar lo siguiente.

Dejemos que $$f(x)=g(u)=\frac{u}{\sin u},$$ donde para $x\in [0,1],$ $u=\arcsin x$ es monótonamente creciente con $u\in [0,\pi/2]$ .

Ahora, por la regla de la cadena, se tiene $$f’(x)=\frac{dg}{dx}=\frac{\sin u-u\cos u}{\sin^2 u}\cdot \frac 1{\sqrt{1-x^2}}>0,x\in (0,1),$$ desde $\tan u>u$ para $u\in (0,\pi/2).$ Combinando con el Teorema del Valor Medio, esto muestra realmente el aumento estricto de $f$ .