Pregunta actualizada : Dadas dos medias muestrales ( $\bar X, \bar Y$ ) y las desviaciones estándar de la muestra ( $S_X, S_Y$ ) con diferentes tamaños de muestra ( $n_X, n_Y$ ), quiero calcular los errores estándar ( $SE_\theta, SE_\rho$ ) de la estimación suma ( $\theta$ ) y producto ( $\rho$ ) significa.
Las medias y las desviaciones típicas de las muestras se calculan como
$\bar X = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n_X} X_{i}}{n_X}$ , $S_X = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n_X} (X_{i} - \bar X)^2}{n_X - 1}}$ , $\bar Y = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n_Y} Y_{i}}{n_Y}$ y $S_Y = \sqrt{\frac{\sum\limits_{i=1}^{n_Y} (Y_{i} - \bar Y)^2}{n_Y - 1}}$
donde $n_X \neq n_Y$ .
Para aclarar, proporciono dos ejemplos inventados en los que las variables $X$ y $Y$ se supone que son independientes:
Suma : Imagina una población de tiburones que pasa 5 ± 0,2 h d $^{–1}$ ( $\bar X \pm S_X$ ) alimentándose de hierbas marinas y 3 ± 0,1 h d $^{–1}$ ( $\bar Y \pm S_Y$ ) alimentándose de peces. La primera media se basa en 20 tiburones muestreados ( $n_X$ = 20), la segunda sobre 10 ( $n_Y$ = 10). Si quiero estimar la media de la suma, utilizo $\theta = \bar X + \bar Y$ . En este ejemplo $\theta$ = 8 h d $^{–1}$ .
Producto : Imagine un bosque con una densidad media de 10 ± 3 plantas m $^{-2}$ ( $\bar X \pm S_X$ ) y una tasa fotosintética media de 20 ± 0,5 $\mu$ mol O $_2$ planta $^{-1}$ min $^{-1}$ ( $\bar Y \pm S_Y$ ). La primera media se basa en 15 mediciones repetidas ( $n_X$ = 15), la segunda sobre 40 ( $n_Y$ = 40). Si quiero estimar la media del producto, utilizo $\rho = \bar X\bar Y$ . En este ejemplo $\rho$ = 200 $\mu$ mol O $_2$ m $^{-2}$ min $^{-1}$ .
Quiero saber cómo calcular $SE_\theta$ y $SE_\rho$ utilizando la información proporcionada en cada ejemplo.
La respuesta aceptada a esta pregunta proporciona esta ecuación para $SE_\theta$ :
$SE_\theta = \sqrt{\frac{S_Y^2}{n_Y} + \frac{S_X^2}{n_X}}$
Este documento tan útil proporciona esta ecuación para $SE_\rho$ :
$SE_\rho = \sqrt{\frac{\bar X^2S_Y^2}{n_Y} + \frac{\bar Y^2S_X^2}{n_X} + \frac{S_X^2S_Y^2}{n_Xn_Y}}$
¿Son correctas estas ecuaciones?
Respuesta : Mientras tanto, he encontrado mi propia respuesta y he pensado que podría ser útil compartirla aquí. Las ecuaciones para el error estándar de la media de la suma ( $SE_\theta$ ) y el error estándar de la media del producto ( $SE_\rho$ ) son correctos. Se derivan de $Var(\bar X + \bar Y) = Var(\bar X) + Var(\bar Y)$ y $Var(\bar X\bar Y) = E(X)^2Var(\bar Y) + E(Y)^2Var(\bar X) + Var(\bar X)Var(\bar Y)$ .
Cuando los errores estándar de $\bar X$ y $\bar Y$ se dan, $SE_\theta$ y $SE_\rho$ se puede calcular como
$SE_\theta = \sqrt{SE_\bar X^2 + SE_\bar Y^2}$ y $SE_\rho = \sqrt{\bar X^2SE_\bar Y^2 + \bar Y^2SE_\bar X^2 + SE_\bar X^2SE_\bar Y^2}$
donde $SE_\bar X = \frac{S_X}{\sqrt{n_X}}$ y $SE_\bar Y = \frac{S_Y}{\sqrt{n_Y}}$ .
