Razón de ser de la convención: ¿por Qué usar el semiperimeter en la fórmula de la Garza?

Question

La fórmula de la garza dice que el área de un triángulo cuyos lados tienen longitudes $a, b, c$ $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ donde $s=(a+b+c)/2$ es el semiperimeter. Esto también puede expresarse diciendo que el área es $\frac14\sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}$. Hay una razón sustancial que prefiere la primera forma, el uso de la semiperimeter, sobre el segundo? Parece como si esa es la única forma que he visto en fuentes publicadas.

(De cualquier manera, es la función más sencilla de $a$, $b$, $c$ que es de 2º grado homogéneo y es igual a $0$ siempre que los tres vértices están en una línea común o en un punto común.)

PS inspirado por los comentarios:

Vamos a comparar longitudes:

$$ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\text{ donde }s=(a+b+c)/2\text{ es el semiperimeter} $$ $$ \phantom{\frac{\vert}{}}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\text{ donde: $s$ es el semiperimeter} $$ $$ \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\text{ donde }s=(a+b+c)/2 $$ $$ \frac 1 4 \sqrt{(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)} $$

Answer 1

La razón por la que creo es la simplicidad:

$$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

Es mucho más sencillo de lo que:

$$A=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(b+c−a)(c+a−b)(a+b−c)}$$

Veo en los comentarios que te dicen que tienes que añadir a $\text{where } 2s=a+b+c$, en la forma estándar, y la longitud de las dos formas a ser el mismo. Sin embargo, esta es una inútil discusión. Continuando con la lógica debemos agregar, $\text{where a,b,c are lengths of sides of the triangle}.$ Esto, todo el mundo estará de acuerdo en que es inútil, y aumentar innecesariamente la duración y la aparente complejidad de la fórmula.

Lo mismo ocurre con $s$ aquí debemos agregar $s$ es esto y esto. Cualquiera que estudie la geometría reconocerá inmediatamente que $s$ representa el semi-perímetro. Por ejemplo, que nunca iba a reconocer en una geometría pregunta, $p$ como el perímetro, sin embargo cuando vemos a $s$, el primer pensamiento que viene es el semi-perímetro. Por lo tanto, creo, es un poco terco para añadir que la parte lo que ha hecho en el postscript y, a continuación, comparar longitudes.

Y dicho esto, el punto no está en longitud, pero en lo sencilla que es la fórmula. La mejor forma debe ser la que permite más fácilmente a hacer lo que la fórmula, que es la de calcular el área. Tomemos un ejemplo con un $13, 14, 15$ triángulo, y calcular el uso de ambas formas, como me hubiera hecho a mí mismo con un lápiz y papel:

$$ \begin{array}{c|lcr} \text{Form 1} & \text{ Form 2} \\ \hline { s=\frac{13+14+15}{2}=21 \\ s - a=21 - 13=8 \\ s - b=21 - 14=7 \\ s - c=21 - 15=6 \\ \text{So, } A=\sqrt{21\cdot 7 \cdot 8 \cdot 6}=\sqrt{3 \cdot (7 \cdot 7) \cdot 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 3} \\ =7\cdot 3\cdot 2\cdot 2=84 } & {a + b + c =13+14+15=42 \\ a + b - c =13+14-15=27-15=12 \\ a + c - b =13+15-14=28-14=14 \\ b + c - a =14+15-13=28-16=16 \\ \text{So, } A=\frac{1}{4}\sqrt{42\cdot 12 \cdot 14 \cdot 16}\\=\frac{1}{4}\sqrt{2 \cdot 21 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 8} \\=\sqrt{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}=7\cdot 3\cdot 2\cdot 2=84}\\ \end{array} $$

Incluso con pequeñas dimensiones, podemos ver que la primera forma tiene una ventaja. Podemos calcular el $s$ fácilmente y, a continuación,$s-a$, $s-b$, .. como sólo una resta de dos términos. Sin embargo, el cálculo de $a + b - c$, $a + c - b$ .. son tres términos de cálculo son muy independientes uno del otro. Esto se vuelve más claro cuando los lados son más grandes y variable. Así, podemos ver que la forma estándar tiene sus ventajas, su más fácil uso, la escritura y el estado. Hay un aspecto más importante.

Hay un área importante de la fórmula en términos de $s$, el uso de la inradius, $A =rs$, donde r es el inradius. Si trazamos la circunferencia inscrita, y los lados divididos por los puntos de tangencia puede ser convenientemente expresadas en términos de $s$. Hay muchos ejemplos en los que las propiedades de los triángulos podría ser reprsented en términos de $s$, y sin el uso de $s$, sería muy desordenado. Como un ejemplo, el modelo de formulario que permite una cómoda expresión de la inradius, whle la otra forma daría un muy desordenado expresión:

$$r=\frac{A}{s}=\frac{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{s}=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$$

Generalizaciones de las Garzas fórmula, como el de la fórmula de Brahmagupta, o incluso la Bretschneider la fórmulaque nos da el área de un general cuadrilátero convexo:

$$A=\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d) - abcd \cdot \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}$$

Este es un muy cómodo y sencillo de expresión. Sin embargo, si se sustituye la $s$$\frac{a+b+c+d}{2}$, y volver a escribir la fórmula, sin la introducción de $s$:

$$A = \frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d) - 16abcd \cos^2 \left(\frac{\alpha + \gamma}{2}\right)}$$

Esto es extremadamente difícil de fórmula e inmanejable para el uso general. Así, podemos ver que la escritura de la fórmula en su totalidad es una mala idea, que se manifiesta como podemos generalizar la fórmula. Por otro lado, la forma estándar, es fácil de estado y de trabajar con y más útil, y por lo tanto creo que la preferencia sobre otras formas.

Answer 2

Hay que ver la prueba de que la fórmula. Si la prueba no tiene que ver directamente con el concepto de semiperimeter, que significa que dos formas equivalentes de escritura de la fórmula son de la misma potencia (sustancialmente hablando). Uno de la prueba está en este enlace aquí: http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Heron/HeronProofAlg.html y esto tiene que ver nada con el concepto de perímetro, así que puedo decir que no tiene una diferencia sustancial en la manera de escribir la fórmula de Herón.

Answer 3

Lo que usted está hablando es de la misma como el cambio de

$$ e^{i\pi } + 1 = 0 $$

a

$$ e^{\frac{i\tau}{2}} + 1 = 0. $$

El primero cree que será el más hermoso de fórmula en las matemáticas. Aunque el puede ser el mismo, y aunque en muchas escuelas el uso de la proteína Tau en matemáticas, se pierde el sentido de la belleza y la sencillez que tenía en la primera fórmula.

En la fórmula de la Garza, tiene una situación similar. La primera fórmula se obtiene el promedio de las matemáticas-amante que ve por primera vez la fórmula de un sentido de la unidad, la belleza, la sencillez, y su asombro por la raw de la simplicidad de la fórmula. Por otro lado, la segunda fórmula, aún requiere que memorizar exactamente el mismo principio básico: agregar todos ellos, perder, perder la b, perder el c. Cuando los estudiantes memorizar la fórmula, esto es lo que se recuerda.

Sea honesto con usted mismo y recordar la primera vez que vio a la leche de fórmula. Una especie de fresco, ¿verdad? La singularidad, belleza, y la unidad de la misma? Mientras que la primera fórmula parece más limpio, el segundo parece un poco más desorganizado.

Otro modo de pensar es por qué escribimos 5x lugar de x5. Significan la misma cosa, de acuerdo a la propiedad asociativa de la multiplicación. Ambas trabajo. Pero es sólo la forma en que se hace.

Lo siento si esto es un poco dissatisfying. Si todo lo demás fallaba para persuadir, Garza escribió la fórmula final de esa manera cuando lo que es, así que tal vez no ha llegado a la pregunta porque de una. la falta de importancia o b. el respeto de su creador.