¿Existe siempre tal matriz

Question

Dados enteros Impares $0<a<b$ Quiero saber si existe un $n$ por $n$ matriz cuadrada de valor real $M$ tal que $$M_{ij} = M_{ji} \quad \forall i,j \in \{1,2\dots n\}$$ $$\sum_{i=1}^n M_{ij} = 0\quad \forall j \in \{1,2\dots n\}$$ $$\operatorname{Tr}(M^a)\operatorname{Tr}(M^b) = \sum_{i=1}^n \lambda_i^a \sum_{i=1}^n\lambda_i^b < 0$$ para un número finito de $n$ .

Si siempre existe tal $M$ Esto resolvería un caso que puede llevar a mejorar un resultado de este documento por Lovász. En el lenguaje del artículo, trato de demostrar que siempre existe un grafón equilibrado $U$ tal que $t(C_a,U)t(C_b,U)<0$ . La proposición 4.3 demuestra un caso especial similar, en el que los dos ciclos están conectados. Dado que ignoraron el caso desconectado, sospecho que mi problema puede ser trivial, no estoy muy familiarizado con la manipulación de la función de rastreo, así que no estoy seguro.

Answer 1

En retrospectiva, esto fue bastante fácil. Si $G$ es un grafo ponderado por aristas con una matriz de adyacencia $M$ entonces el recuento de homomorfismos ponderados de $C_k$ en $G$ es igual a $\operatorname{Tr}(M^k)$ .

Es suficiente con poder construir gráficos $G_{k-}$ (resp. $G_{k+}$ ) tal que $C_k$ sólo tiene una incrustación, que tiene peso negativo (resp. positivo), siendo todos los demás ciclos arbitrariamente largos.

Para ello, basta con pegar un camino arbitrariamente largo a cada vértice de $C_k$ y luego pegar todos los extremos de los caminos. La ponderación es fácil de manejar después. (dar a todas las aristas de $C_k$ peso unitario, y dar al último borde el peso $k-3$ para el caso positivo, o el peso $-(k-1)$ en el caso negativo, y luego alternar los pesos de la ruta adecuadamente)

Tenemos que $C_a$ no puede incrustarse en $G_{b+}$ y $C_{b+}$ sólo puede incrustarse un número finito de veces en $G_{a-}$ . Así, para $N$ suficientemente grande, definiendo $G$ para ser una copia de $G_{a-}$ y $N$ copias de $G_{b+}$ las incrustaciones ponderadas de $C_a$ son negativos mientras que los de $C_b$ son positivos, como se desea.