Existencia de un vector no nulo para formar

Question

Dejemos que $ f: \mathbb {R}^m\times \mathbb {R}^m \rightarrow \mathbb {R}^m $ una forma alternativa de grado dos.

Si $ m $ es impar, demuestre que existe $ v\neq 0 $ tal que $ f (u, v) = 0 $ para todos $ u \in \mathbb {R}^m$ .

Gracias por cualquier sugerencia.

Answer 1

Dejemos que $M = (f(e_i, e_j))_{1 \leqslant i,j \leqslant m}$ sea la matriz asociada a $f$ (donde $(e_1, \dots, e_m)$ es la base canónica de $\mathbb{R}^m$ ). Es una matriz simétrica (¿por qué?). ¿Qué puede derivar en $\det M$ ?

Edición: respondiendo a tu comentario. Deja $v \in \mathbb{R}^m$ sea un vector no nulo tal $M \,v = 0$ (¿por qué existe esto?). Demuestre que $v$ responde a su pregunta.

Algunos comentarios: He aquí un par de datos generales que probablemente le resulten útiles: Deja que $V$ sea un espacio vectorial con una base dada $(e_1, \dots, e_n)$ . Si $f$ es una forma bilineal en $V$ tiene una matriz asociada definida como arriba. Para dos vectores cualesquiera $x, y \in V$ tenemos la relación $$f(x,y) = X^T \, M \,Y$$ Donde $X$ y $Y$ son los vectores columna asociados a $x$ y $y$ utilizando la base dada (mostrar esta relación).

Vectores $x$ (resp. $y$ ) que satisfaga $f(x, y) = 0$ para cualquier $y$ (resp. $x$ ) en $V$ son los elementos de lo que se denomina el espacio nulo izquierdo (resp. derecho) de $f$ . Si $f$ es simétrico o alternativo, los espacios nulos de la izquierda y de la derecha son iguales (mostrar esto).

En general, utilizando la base dada, el espacio nulo izquierdo corresponde al espacio nulo izquierdo (o cokernel) de $M$ mientras que el espacio nulo derecho corresponde al núcleo de $M$ (mostrar esto).