Comprensión de la prueba de $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_2)\cong S_3$ y $\operatorname{PSL}_2(\mathbb{F}_3)\cong A_4$

Question

Prueba dada:

Considere la acción de $\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_q)$ en la línea proyectiva $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)$ . Esta acción es fiel y 3-transitiva, por lo que $$ \phi:\operatorname{PGL}_2(\mathbb{F}_q) \to S_{q+1} $$ es un monomorfismo (nota: $q+1 = |\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_q)|$ , $S_n$ es el grupo simétrico). Por lo tanto, $\operatorname{im} \phi$ tiene que ser un subgrupo 3-transitivo de $S_{q+1}$ . Así que para $q=2$ o $q=3$ Esto sólo es posible si $\operatorname{im}\phi = S_{q+1}$ ...

Pregunta: No veo por qué la última frase es cierta. Para $q=2$ , $\operatorname{im}\phi$ debe asignar cada tripleta de elementos en $S_3$ a cualquier otra tripleta de elementos en $S_3$ por lo que tenemos que considerar todas las permutaciones posibles de 3 elementos, lo que explicaría $\operatorname{im}\phi = S_3$ . Pero, ¿por qué se mantiene para $q=3$ ¿también?

Merci.

Answer 1

El número de $3$ -tuplas de elementos distintos de $\{1,2,3,4\}$ es ${}_4P_3=24$ , por lo que la imagen de $\mathrm{PGL}_2\mathbb{F}_3$ debe tener un tamaño divisible por $24$ forzándolo a ser todo $S_4$ . Así, $\mathrm{PSL}_2\mathbb{F}_3$ debe ser un índice $2$ subgrupo, lo que significa que debe ser $A_4$ . Se puede utilizar un teorema sobre el índice $2$ subgrupos de grupos simétricos o puede verificar un par de generadores de $\mathrm{PSL}_2\mathbb{F}_3$ actúan como permutaciones pares.