demostrando que $F((t))=\big\{\sum\limits_{n=N}^{\infty}a_nt^n\ :\ N\in\mathbb{Z}, a_n\in F\big\}$ es un campo para un campo $F$

Question

Dejemos que $F$ sea un campo. El anillo de las series de Laurent se define como: $$F((t))=\left\{\sum\limits_{n=N}^{\infty}a_nt^n\ :\ N\in\mathbb Z, a_n\in F\right\}$$ Estoy tratando de mostrar que en realidad es un campo.

Así que si $a=\sum\limits_{n=N}^{\infty}a_nt^n\in F((t))$ podemos dividir $a$ en dos partes: $$a=\sum\limits_{n=N}^{-1}a_nt^n+\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n$$ (si $N\geq0$ entonces no hay problema ya que $a_0+a_1t+...+a_nt^n$ es una unidad en $F[[t]]=\left\{\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nt^n\right\}$ desde $a_0$ es una unidad en $F$ podemos encontrar la inversa de $a$ : $$a^{-1}=a_0^{-1}+b_1t+b_2t^2+\ \ldots$$ donde $ b_n := -a_0^{-1} \sum_{k=1}^n a_k b_{n-k} $

Partiendo de cero, ¿puedo escribir $F((t))=F[t,{1\over t}]$ ? Y entonces desde $t$ y $1/t$ son unidades en $F[t,{1\over t}]$ $F((t))$ ¿es un campo?

Answer 1

En cuanto a la pregunta del título, se puede revisar la prueba de que $F((t))$ es el campo de la fracción del anillo $F[[t]]$ . Por lo tanto, es un campo.

Referencia: Demostrar que el campo de fracciones de $F[[x]]$ es el anillo $F((x))$ de la serie formal de Laurent.

Answer 2

Tenga en cuenta que $F[[t]]$ es un DVR, y $t$ es un parámetro uniformizador: toda serie de potencias puede escribirse únicamente como $ut^N$ donde $u$ es una unidad y $N\geqslant 0$ . Esto significa que la inversión $t$ es suficiente para obtener $F((t))$ Y, de hecho, ésta es más o menos la definición de este campo.