Encuentra el primer número de Poulet

Question

Un número Poulet (OEIS $A001567$ ) se llama número compuesto $n$ tal que $2^{n-1}1$ es divisible por $n$ . Los primeros números de este tipo son: $$ 341, 561, 645, 1105, \ldots $$ Pregunta: Cómo demostrar que $341=11 \cdot 31$ es el primer número de Poulet y no hay ningún otro número de este tipo que sea menor que $341$ ?

Por supuesto, es fácil de demostrar por cálculo directo en cualquier sistema informático, pero espero que se pueda demostrar con herramientas de números elementales.

Answer 1

Demostrando que $2^{340} - 1$ es divisible por $341$ es una rutina. Demostrando que $2^{n-1} - 1$ no es divisible por $n$ para cualquier compuesto impar $< 341$ parece requerir que se examinen muchos casos uno por uno. Todo es "elemental" pero llevará algún tiempo a mano.