¿Puede alguien explicar cómo se aplica aquí el teorema del valor medio de Cauchy?

Question

¿Cómo es que esto no es una excepción al teorema del valor medio de Cauchy?

$f(x)=x^2+x;g(x)=x^3;x[1,1]$

Porque $g'(0)=0$ que es una contradicción con la tercera condición que:

$g'(x)\neq 0 ;\forall x(1,1)$

Answer 1

En primer lugar, no es posible que un ejemplo contradiga a un condición de una declaración. Una contradicción sería una situación en la que se cumplen todas las condiciones, pero no la conclusión.

En segundo lugar, las condiciones del teorema del valor medio de Cauchy no son del mismo orden para todos los autores. Por tanto, tu "tercera condición" no es una buena forma de expresarlo.

Por último, el teorema dice que hay un $c\in(-1,1)$ tal que $$\bigl(f(1)-f(-1)\bigr)g'(c)=\bigl(g(1)-g(-1)\bigr)f'(c),$$ que resulta ser cierto. Por lo tanto, no hay ninguna contradicción.