Sacar una variable de una ecuación de trigonometría

Question

$A = 2 \pi r^2 - r^2 (2 \arccos(d/2r) - \sin(2 \arccos(d/2r)))$

Dada $A$ y $r$, me gustaría resolver para $d$. Sin embargo, me atasco al descomponer $d/2r$ en las funciones trigonométricas.

Para poner en contexto, esta es el área de dos círculos que se superponen menos la región superpuesta. Dado un radio y un área deseada, me gustaría poder determinar cuán lejos deben estar. Sé que $A$ debería estar acotada por debajo por $0 (d = 0)$ y por encima por $2 \pi r^2 (d \le 2r)$.

Answer 1

Esta es una ecuación trascendental para $d$ que no puede resolverse para $d$ de forma cerrada. Puedes deshacerte de las funciones trigonométricas en el último término usando

$$\sin2x=2\sin x\cos x$$

y

$$\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}$$

y así

$$\sin\left(2\arccos\frac d{2r}\right)=\frac dr\sqrt{1-\left(\frac d{2r}\right)^2}\;,$$

pero aún queda $d$ tanto en el argumento del arcocoseno como fuera de él.

Answer 2

Puedes simplificar tu álgebra un poco trabajando en términos de ángulos. Si $\theta$ es la mitad del ángulo central del arco que se superpone con el otro círculo, entonces $d=2r\cos\theta$, y tu ecuación se simplifica aún más en $$ A=2\pi r^2+r^2(\sin(2\theta)-2\theta). $$ Por supuesto, esto sigue siendo implícito; realmente no se puede resolver esta ecuación para $\theta$ sin un método numérico.

Además, es posible que te interese saber que existen varios "trucos", maneras de escribir soluciones explícitas a ecuaciones trascendentales como la tuya en términos de funciones especiales personalizadas, básicamente integrales que aún necesitarían ser calculados numéricamente. Un artículo temprano en esta área escrito por E.E. Burniston & C.E. Siewert se llama "Exact analytical solution of the transcendental equation $\alpha\sin\zeta=\zeta$" y fue publicado en SIAM J. Appl. Math., Vol.24, No.4 (1973). Se puede descargar desde la página web de C.E. Siewert.