Encontrar todos los primos $p$ tal que $p+1$ es un cuadrado perfecto.

Question

Encontrar todos los primos $p$ tal que $p+1$ es un cuadrado perfecto.

Todos los primos excepto el 2 (el 3 no es un cuadrado perfecto, por lo que podemos excluir ese caso) son Impares, por lo que podemos expresarlos como $2n+1$ para algunos $n\in\mathbb{Z}_{+}$ . Expresemos el cuadrado perfecto como $a^2$ , donde $a\in\mathbb{Z}_{+}$ . Como nos interesa un número que es uno más que $2n+1$ sabemos que nuestro cuadrado perfecto también se puede expresar como $2n+1+1=2(n+1)$ .

$2n+2=a^2$

$2(n+1)=a^2$

Así que sabemos que nuestro cuadrado perfecto debe ser par, ya que tiene un factor de 2 en él (de hecho $2\cdot2$ ).

Es mi fuerte intuición que obtenemos un cuadrado perfecto sólo si $n=1$ y por lo tanto $p=3$ y $p+1=a^2=2\cdot2=4$ pero, ¿cómo debo continuar con esta prueba? Me parece que cualquiera que sea el factor que tenemos en el LHS necesitamos tenerlo dos veces en el RHS (ya que $a$ debe ser un entero), pero ¿cómo continúo a partir de ahí?

Answer 1

Creo que si tenemos $p+1=k^2$ podemos ver $p=(k-1)(k+1)$ y por lo tanto $3$ es el único primo de este tipo.

Answer 2

Si nuestro primer $p$ está en forma de $n^2-1,\quad n\in\mathbb{Z}$ entonces también podría escribirse como $p=(n-1)(n+1)$ Si $p$ es un primo que no puede escribirse como el producto de otros dos primos (o el producto de cualquier número entero que no sea $1$ y a sí mismo) (afirma el teorema fundamental de la aritmética) Si $n-1=1$ entonces $n=2$ y el otro multiplicador $n+1=3=p$ . Otra posibilidad es que $n+1=1$ sin embargo, eso no nos da una prima para $p$ ..

Así que sólo hay un primo $p$ que hace que $p+1$ un cuadrado perfecto y es $3$ .