¿Existe un nombre para esta relación: para todos los $x$ hay $y$ tal que $xRy$ y para todos $x,y,z$ , si $xRy$ y $xRz$ alors $y=z$ ?

Question

Supongamos que para todo $x$ hay $y$ tal que $xRy$ y para todos $x,y,z$ , si $xRy$ y $xRz$ alors $y=z$ .

¿Existe una relación binaria de este tipo $R$ en algún conjunto tal que las propiedades anteriores se satisfacen con $R$ ?

Answer 1

Un conjunto de ejemplos son las funciones de $A$ a $B$ . Para ello dejemos $xRy$ significa que $(x,y) \in f$ [utilizando la formulación de "función como pares ordenados"]. Entonces su primer requisito expresa que $f$ produce una salida $f(x)$ para cada $x$ en $A,$ mientras que el segundo expresa que $f$ es una función.

Puede haber más ejemplos.

Edición: En la terminología matemática habitual, el término "función" implica que es de "valor único". Es decir, una sola entrada no se asigna a más de una salida. Eso es lo que expresa tu segunda condición. La primera condición realmente dice que cada elemento del dominio $A$ mapas a al menos una cosa en $B$ [el "codominio"].

Existe una versión de la llamada "función parcial" para la que no es necesario que cada elemento del dominio corresponda a algo del codominio. [He visto que es más utilizado por los lógicos]

Answer 2

Definir una relación $\operatorname{R}$ en $\Bbb{Z}$ tal que $x\operatorname{R}y$ si y sólo si $x+y=0$ donde " $+$ ' denota la adición habitual.