La suma de series geométrico-factoriales

Question

Estaba reflexionando sobre mi Secuencias y series tarea, cuando la siguiente serie me vino a la mente:

$0!+1!x+2!x^{2}+3!x^{3}+.......+n!x^{n}$

Y créanme, hablo en serio que no se me ocurría ningún planteamiento, pero se veía bonito.Intenté buscar todos los métodos de suma posibles, pero parecía que no me ofrecían un respiro. Así que chicos, ¿alguna idea o enfoque?

Answer 1

No es tan malo si se conoce la función gamma incompleta ya que $$f_n(x)=\sum_{k=0}^n k! \,x^k$$ $$f_n(x)=-\frac{e^{-1/x}}{x}\Bigg[(-1)^n (n+1)!\, \Gamma \left(-(n+1),-\frac{1}{x}\right)+\Gamma \left(0,-\frac{1}{x}\right) \Bigg]$$ Para $x=1$ aparecen las funciones subfactoriales y, para $x>1$ la función integral exponencial.