Dejemos que $\omega=(\omega_1,\ldots,\omega_{m})$ ser un $m$ -de números reales. Sea $|\omega|_{m}:=\sup\limits_{1 \leq j \leq m}|\omega_j|_{1}$ sea una métrica sobre un toro plano $\mathbb{T}^{m}=\mathbb{R}^{m}/\mathbb{Z}^m$ es decir. $|\theta|_{1}$ es la distancia desde $\theta$ al número entero más cercano.
Decimos que un $m$ -tupla $\omega$ satisface la condición diofantina de orden $\nu \geq 0$ si hay una constante $C>0$ tal que para todo natural $q$ la desigualdad $$|\omega q|_{m} \geq C \left(\frac{1}{q}\right)^{\frac{1+\nu}{m}}$$ se satisface.
Supongamos que tenemos algún algoritmo que proporciona una secuencia de convergentes (fracciones que se aproximan a $\omega$ ) con denominadores $\{ q_{k} \}$ . Quiero encontrar un algoritmo que satisfaga las siguientes propiedades
Propiedad 1. Si $\omega$ satisface la condición diofántica, entonces $q_{k+1}=O\left(q^{1+\nu}_{k}\right)$ .
Propiedad 2. Para muchos (en cierto sentido) $\omega$ hay una constante $\hat{C}>0$ tal que la estimación $$\sum\limits_{k=N}^{\infty}\frac{1}{q_{k}} \leq \hat{C}\frac{1}{q_{N}}$$ se mantiene para todo lo que es suficientemente grande $N$ .
El algoritmo clásico de fracción continua para $m=1$ proporciona los denominadores necesarios: la propiedad 1 es equivalente a la condición diofántica y la propiedad 2 se cumple para todos los números reales.
¿Existen algoritmos multidimensionales conocidos que satisfagan las propiedades anteriores? Agradeceré cualquier ayuda.
