Función sumatoria de divisores restringidos

Question

Se sabe que el número medio de divisores, calculado sobre todos los enteros positivos entre $1$ y $N$ se puede expresar mediante la fórmula clásica de Dirichlet como

$$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^N d(n)= \log(N)+2 \gamma -1+O(N^{-\frac{1}{2}})$$

donde $\gamma$ es la constante de Euler y $d(n)$ es la función divisora. Me gustaría saber si existe una fórmula asintótica similar si restringimos el cálculo, para cualquier $n$ a un rango más estrecho para los divisores. En particular, dado $n$ podemos considerar sólo los divisores $<c \sqrt{n}\,$ , donde $c$ es un número real positivo.

Llamemos a esta función divisora restringida $d(n,c)\,$ . Para $c=1\,\,$ la función sumatoria resultante se convierte trivialmente en

$$\frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} d(n,1)= \frac{1}{2} \log(N)+ \gamma -\frac{1}{2}+O(N^{-\frac{1}{2}})$$

Sin embargo, para $c \neq 1 \,$ No he podido demostrar una fórmula asintótica general. Después de algunos cálculos, supongo que el término constante varía en $\log(c)$ pero me gustaría tener una prueba formal.

Answer 1

Un simple cambio de sumas da un resultado utilizable, aunque burdo:

$$\sum_{n=1}^N d(n,c) = \sum_{n=1}^N \sum_{\substack{d\mid n\\d<c\sqrt{n}}} 1 = \sum_{d=1}^{c\sqrt{N}} \sum_{\substack{d^2/c^2 < n \le N\\ n \equiv 0 \pmod d}} 1 = \sum_{d=1}^{\lfloor c\sqrt{N} \rfloor} \big\lfloor \frac{N}{d} \big\rfloor - \big\lfloor \frac{\lceil d^2/c^2 \rceil}{d} \big\rfloor \\ = \sum_{d=1}^{\lfloor c\sqrt{N} \rfloor} (\frac{N}{d} - \frac{d}{c^2}) + O(c\sqrt{N}) \\ = N(\log(c\sqrt{N}) + \gamma + O((c\sqrt{N})^{-1}) - (\tfrac12 N + O(c^{-1}\sqrt{N}) ) + O(c\sqrt{N}).$$

Así, el valor medio de $d(n,c)$ es $\frac12 \log N + \log c + \gamma - \frac12 + O_c(N^{-1/2})$ donde el subíndice en $O_c$ connota que la constante implícita puede depender de $c$ (en este caso parece estar limitado por $O(c + c^{-1})$ ). Tal vez el término de error pueda hacerse más uniforme en $c$ afinando este cálculo mediante el método de la hipérbola de Dirichlet.