Buenos ejemplos de violaciones de la "ley de los intervalos suficientemente grandes"

Question

Es un error común entre nosotros, los simples mortales (legos, estudiantes, físicos y similares), asumir que porque una función (o secuencia) tiene una determinada propiedad en un intervalo suficientemente grande, debe mantener esta propiedad cuando su argumento tiende al infinito. Algunos ejemplos especialmente destacados son la asíntota "aparente", el límite "aparente" en el infinito y la secuencia "casi" de Cauchy.

Bueno, estaba tratando de explicar por qué esto es no el caso cuando me di cuenta de que para cada ejemplo que se me ocurría, la idea de mirar un intervalo "suficientemente grande" hizo basta con predecir el comportamiento límite de la función. De hecho, he empezado a notar que incluso los matemáticos utilizan casualmente este tipo de razonamiento cuando la situación no requiere lo contrario.

El problema es que la mayoría de las funciones "ordinarias" tienen un comportamiento relativamente consistente en todo su dominio. Si $f(x)$ es continua, creciente, $f(x)<3$ para todos $x<10,000$ y $f(10,000)=2.999999978$ entonces lo más probable es que $\lim_{x\to\infty}f(x)=3$ . Por supuesto, hay puede sea un valor absurdamente grande donde $f$ empieza a aumentar mucho más rápido, pero a menos que se haga intencionadamente hay no es .

Esto me lleva a mi pregunta.

¿Cuáles son algunos ejemplos "naturales" de funciones (o clases de ellas) que parecen obedecer la "ley de los intervalos suficientemente grandes" pero no lo hacen?

Por "natural" me refiero a algo que podría aparecer en un libro de texto de la escuela secundaria o de la licenciatura y que podría engañar a un TA si no tuviera cuidado; una función definible cuya fórmula no estropea inmediatamente la revelación. Obviamente, algo como...

$$f(x)=\frac{x}{10^{21}}-\frac 1x$$

...no funcionará porque cualquiera que lo mire más de una vez se dará cuenta de que $f(x)$ sólo es "pequeño" cuando $x<10^{21}$ .

Busco más bien ejemplos en los que, sin más trabajo, siga pareciendo razonable que el comportamiento límite de la función se prediga por su comportamiento en un intervalo grande.

Answer 1

Mis ejemplos favoritos son Integrales de Borwein . Considere las siguientes expresiones $$ \begin{aligned} \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} dx &= 1\\ \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} dx &= 1\\ \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} dx &= 1\\ \dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots\dots&\dots\dots\\ \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} dx &= 1 \end{aligned} $$ es decir, tienes la secuencia $1,1,1,1,1,1,1$ . ¿Esperas que el siguiente número sea $1$ ? Bueno $$ \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} dx = \frac{467807924713440738696537864469}{467807924720320453655260875000}. $$

¿Siete es muy poco para sacar conclusiones? Entonces, ¿qué tal una ligera modificación? $$ \frac{2}{\pi} \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/101)}{x/101}\cdots\frac{\sin(x/(100n+1))}{x/(100n+1)} dx = 1 $$ para todos $n < e^{99} \approx 10^{43}$ y luego el patrón se rompe.

Answer 2

No es obvio que la suma armónica ( $\sum_{i=1}^\infty 1/i$ ) no converge cuando sólo se miran las sumas parciales. Un ejemplo que es un poco diferente (y tal vez no lo que se pidió) es el polinomio $n^2+n+41$ . Tiene valores primos para todas las integrales $n$ con $0\leq n \leq 39$ .