Dado cualquier mapa lineal de una base a un espacio W, se puede expandir a un mapa lineal de todo el espacio a un espacio W

Question

Estoy leyendo los apuntes de Álgebra Lineal y me he encontrado con algo que no entiendo muy bien.

Todo mapa lineal $T:V \rightarrow W$ se determina por sus valores en a base $\mathcal{B}$ para $V$ .
Cada mapa $T: \mathcal{B} \rightarrow W$ puede ampliarse a un mapa lineal $T:V \rightarrow W$ .

Creo que entiendo la primera frase; tiene sentido porque $\mathcal{B}$ se está extendiendo. Sin embargo, tengo problemas para entender la segunda frase. ¿Podría alguien explicar cómo ampliarla a un mapa lineal más grande?

Gracias.

Answer 1

$T(\sum \alpha _k b_k)=\sum \alpha_k T(B_k)$ . Recuerde que cada vector en $V$ es únicamente de la forma $\sum \alpha _k b_k$ una suma finita, donde el $\alpha _k$ son escalares y $b_k$ son vectores base. La expansión que he dado está bien definida debido a la unicidad, y es lineal por definición. Es claramente una extensión de $T$ .