¿Cómo puedo encontrar todas las soluciones enteras de $3^n - x^2 = 11$

Question

Sé que $n$ no puede ser ni siquiera por el siguiente argumento:

Dejemos que $n = 2p$ . Entonces podemos usar la diferencia de dos cuadrados y queda así : $(3^p + x)(3^p - x) = 11; 3^p + x = 11 , 3^p - x = 1$ . $3^p = 6$ que no es posible si $p$ es un número entero.

También descubrí que $x$ tiene que ser un número par. Creo que la única solución es $3^3 - 4^2 = 11$ pero ¿cómo puedo encontrar la verdadera respuesta?

Answer 1

Una forma de hacerlo (probablemente no sea la más fácil, pero se generaliza bastante bien) es escribir $n=3m+r$ con $r\in\{0,1,2\}$ . Entonces tienes una solución $(x,3^m)\in\mathbb Z^2$ a $$ 3^r\cdot y^3 - x^2 = 11. $$ Así que sólo hay que encontrar los puntos enteros de las tres curvas elípticas $$ y^3-x^2=11,\quad 3y^3-x^2=11,\quad 9y^3-x^2=11. $$ Existen métodos estándar para manejar estas curvas.

Answer 2

$$3^{n} - x^2 = 11$$

Según la respuesta de Silverman, tomamos los tres casos $n=3a, n=3a+1,$ y $n=3a+2.$
El problema puede reducirse a encontrar los puntos enteros en las curvas elípticas de la siguiente manera.

$\bullet n=3a$
Dejemos que $X = 3^a, Y=x$ , entonces obtenemos $Y^2 = X^3 - 11.$
Según LMFDB esta curva elíptica tiene puntos enteros $(X,Y)=(3,\pm 4), (15,\pm 58)$ con rango $2.$
Por lo tanto, $(X,Y)= (3,\pm 4) \implies (n,x)=(3,\pm4).$

$\bullet n=3a+1$
Dejemos que $X = 3^{a+1}, Y=3x$ , entonces obtenemos $Y^2 = X^3 - 99.$
Esta curva elíptica tiene rango $0$ y no tiene ningún punto entero, por lo que no hay solución entera $(n,x).$

$\bullet n=3a+2$
Dejemos que $X = 3^{a+2}, Y=9x$ , entonces obtenemos $Y^2 = X^3 - 891.$
Esta curva elíptica tiene puntos enteros $(X,Y)=(31,\pm 170)$ con rango $1.$
Por lo tanto, no existe una solución entera $(n,x).$

Por lo tanto, sólo hay soluciones enteras $(n,x)=(3,\pm4).$