Clasificador de subobjetos de una categoría general de rodajas

Question

Dejemos que $\bf C$ sea una categoría con límites finitos, con clasificador de subobjetos $\omega:T\to \Omega$ , donde $T$ es el objeto terminal de $\bf C$ . Dotaré $(X,x)$ con $x:X\to A$ , un objeto de la categoría de rodajas $\mathbf{C}/A$ (sobre cualquier objeto $A$ en $\bf C$ ) . ¿Cómo puedo describir el clasificador de subobjetos de $ \mathbf{ C}/A$ ?

Pensé en $\tau:(A,1_A)\to(A\times \Omega,\pi_A)$ definido por $\pi_\Omega\circ \tau=\omega \circ t_A$ , donde $t_A$ es el único $A\to T$ y $\pi_A\circ \tau=1_A$ . De este modo, para cada monomorfismo $m:(S,s)\to(X,x)$ podemos utilizar la función característica $\chi_S:X\to \Omega$ para obtener este diagrama conmutativo, estableciendo $\pi_A\circ \chi_{(S,s)}=x$ y $\pi_\Omega\circ \chi_{(S,s)}=\chi_S$ .

Sin embargo, tengo dudas sobre el hecho de que sea un pullback. Tomemos otro monomorfismo $m':(S',s')\to (X,x)$ tal que $\tau\circ s'=\chi_{(S,s)}\circ m'$ (diagrama inferior). $\omega\circ (s'\circ t_A)=\chi_S\circ m'$ y $m\circ f=m'$ para un $f:S'\to S$ . Además, se puede demostrar que esta $f$ es una flecha $(S',s')\to (S,s)$ .

Por último, dado que $m$ es un monomorfismo, diría que la unicidad de $f$ se desprende de $m\circ f=m'$ .

¿Tienen sentido mis argumentos? No he comprobado explícitamente la conmutatividad de todos los triángulos/cuadrados necesarios, pero debería ser bastante inmediata. No sé si es legítimo usar imágenes en lugar de látex (hazme saber si no lo es); realmente no pude entender cómo dibujar esos diagramas.

Answer 1

Un subobjeto en $\mathbf C/X$ consiste en un monomorfismo $U\hookrightarrow Y$ y un morfismo $Y\to X$ . Si tiene un clasificador de subobjetos $\top\hookrightarrow\Omega$ entonces $U\hookrightarrow X$ es el pullback de $\top\hookrightarrow\Omega$ a lo largo de un morfismo único $Y\to\Omega$ . Si tiene productos, el morfismo fijo $Y\to X$ da una correspondencia de morfismos $Y\to\Omega$ al morfismo $Y\to X\times\Omega$ tal que $Y\to X$ factores como $Y\to X\times\Omega\to X$ , en cuyo caso $Y\to\Omega$ factores como $Y\to X\times\Omega\to\Omega$ . Por el lema del pullback, los pullbacks de $\top\hookrightarrow\Omega$ a lo largo de $Y\to\Omega$ corresponden a retrocesos a lo largo de $Y\to X\times\Omega$ del retroceso $X\times\top\hookrightarrow X\times\Omega$ de $\top\hookrightarrow\Omega$ a lo largo de la proyección $X\times\Omega\to\Omega$ .