Espacio-tiempo de Minkowski: ¿Existe una firma (+,+,+,+)?

Question

En la historia hubo un intento de llegar a (+, +, +, +) reemplazando "ct" por "ict", todavía empleado hoy en día en forma de la "rotación de Wick". La rotación de Wick supone que el tiempo es imaginario. Me pregunto si hay otra manera sin necesidad de recurrir a números imaginarios.

El espacio tiempo de Minkowski se basa en la firma (-, +, +, +). En un diagrama de Minkowski obtenemos la ecuación: $$ \delta t^2 - \delta x^2 = \tau^2 $$ Tau siendo el intervalo espacio-temporal invariante o el tiempo propio.

Al reemplazar el tiempo con el tiempo propio en el eje y del diagrama de Minkowski, la ecuación sería $$ \delta x^2 + \tau^2 = \delta t^2 $$ En mi nuevo diagrama esta ecuación describiría un triángulo rectángulo, y la firma de (tiempo propio, espacio, espacio, espacio) sería (+, +, +, +).

Soy consciente de que la firma (-, +, +, +) es necesaria para la mayoría de cálculos y aplicaciones físicas (especialmente las transformadas de Lorentz), y por lo tanto la firma (+, +, +, +) absolutamente no sería factible. (Editar: Contrariamente a algunos autores en el sitio web sobre el espacio tiempo euclidiano mencionado en el comentario de alemi)

Pero me pregunto si hay algunos pocos cálculos/aplicaciones físicas donde esta firma es útil en física (especialmente al estudiar la naturaleza del tiempo y del tiempo propio).

Editar (se añadió un dibujo): Ambos diagramas (tiempo/esapacio y tiempo propio/espacio) son visualizaciones del observador, incluso si, como señaló John Rennie, dt depende del marco y ds no.

Answer 1

El significado de la métrica:

$$ d\tau^2 = dt^2 - dx^2 $$

es que $d\tau^2$ es invariante, es decir, todos los observadores en todos los marcos, incluso en marcos acelerados, estarán de acuerdo en el valor de $d\tau^2$. En contraste, $dt$ y $dx$ dependen de las coordenadas y diferentes observadores estarán en desacuerdo sobre los valores relativos de $dt$ y $dx$.

Por lo tanto, aunque es cierto que:

$$ dt^2 = d\tau^2 + dx^2 $$

esto no es (por lo general) una ecuación útil porque $dt^2$ depende del marco.

Answer 2

Por definición, el espacio de Minkowski $\mathbb{R}^{p,q}$ debe tener una signatura $(p,q)=(1,d-1)$, con métrica,

$$ds^2 = -dt^2 +dx_1^2 + dx^2_2 + \dots$$

La signatura $(+,+,\dots)$ corresponde al espacio euclidiano, que se obtiene mediante una rotación de Wick,

$$t\to -i\tau$$

a tiempo imaginario $\tau$, y la métrica se modifica, en el caso del espacio de Minkowski rotado por Wick, a $\delta_{\mu\nu}$. En muchos casos, es conveniente hacerlo, por ejemplo, para la evaluación de la integral de camino. Específicamente, como ejemplo, en la teoría de cuerdas bosónicas, rotamos la acción de Polyakov a,

$$S=\frac{1}{4\pi \alpha'}\int d^2 \sigma \, \partial_\alpha X^\mu \partial_\beta X^\nu \delta_{\mu\nu}$$

Otro ejemplo: Al derivar la fórmula de la entropía de Bekenstein-Hawking, elegimos aproximar la función de partición, normalmente dada por una integral de camino, como

$$Z \sim \sum_{\text{solns. clásicas}} e^{-I_E}$$

donde $I_E$ es la acción de Einstein-Hilbert euclidiana complementada por términos de borde necesarios. Para la métrica de Schwarzschild, rotaríamos por Wick al espacio euclidiano,

$$ds^2_E = \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)d\tau^2 + \left( 1-\frac{2GM}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2 d\Omega^2_{\text{II}}$$

y impondríamos periodicidad en $\tau$ con periodo $\beta=1/T$. Estos son solo unos pocos ejemplos de muchos donde la signatura $(+,+,+,+)$ es útil para propósitos computacionales. Como John Rennie señaló correctamente, simplemente manipular el elemento de línea invariante a,

$$dt^2 = ds^2 + dx^2$$

no logrará ningún efecto, la métrica sigue siendo técnicamente $(1,1)$, y $dt^2$ es ciertamente dependiente del marco de referencia.

Answer 3

La $i\,c\,t$ patológica y / o una "firma trivial" parecen ideas muy simples y simplificadoras a primera vista, pero las diferencias entre el espacio de Minkowski y el espacio euclidiano son en realidad bastante profundas y no se pueden eliminar fácilmente de esa manera.

Observa las siguientes diferencias:

1. El elemento métrico (primera forma fundamental) en el espacio euclidiano es una métrica real: la distancia entre dos elementos en este espacio solo puede ser cero si los dos son los mismos puntos, y es subaditivo, es decir, cumple la desigualdad triangular $d(x,z)\leq d(x,y) + d(y,z)$. Esto último es muy intuitivo y afirma la noción cotidiana de "transitividad cualitativa de cercanía": aproximadamente significa que si $x$ está cerca de $y$ y $y$ está cerca de $z$ entonces $z$ está "algo" cerca de $x$.

2. El elemento métrico en el espacio-tiempo de Minkowski no cumple ninguna de estas propiedades cruciales: eventos separados por un vector nulo (que es diferente del vector cero) tienen una distancia de cero entre ellos, y el elemento métrico NO es subaditivo: la desigualdad triangular no se cumple. Así que la "norma" de Minkowsky ni siquiera es una seminorma en el sentido matemático.

Con los espacios euclidianos estás tratando con normas y productos internos en el sentido habitual de los matemáticos. Sus contrapartes en el espacio-tiempo de Minkowski no son de estos reinos, aunque tengan algunas similitudes.

El grupo de Lorentz es el conjunto de todas las matrices que conservan la "norma" de Minkowsky: conservan la forma cuadrática con la firma $+,\,-,\,-,\,-$, y esto puede demostrarse que implica que los miembros del grupo conservan también el producto interno de Minkowsky. La introducción de números complejos enturbia y complica todo en esta elegante descripción, porque no hay concepto de "firma" con grupos de matrices complejas: en este caso la noción de firma se generaliza a "matrices diagonalizables a una matriz con términos de la forma $e^{i\,\phi}$ en su diagonal principal". En dicho grupo, se pueden seguir caminos que deforman continuamente los términos $e^{i\,\phi}$ entre sí, por lo que la noción de firma se pierde.

Puede que te interese ver mi exposición de $SO^+(1,3)$ aquí para más detalles.

Cualquier otro "dispositivo" que "suavice" la firma probablemente tenga una aplicación limitada.

Answer 4

Considere un vector Euclidiano bidimensional $\mathbf v$. La longitud al cuadrado es

$$r^2 = \mathbf v \cdot \mathbf v = x^2 + y^2$$

donde $x$ y $y$ son los componentes del vector en alguna base.

$$x = \mathbf v \cdot \hat e_x $$

$$y = \mathbf v \cdot \hat e_y $$

Ahora, podríamos escribir la siguiente ecuación

$$y^2 = x^2 - r^2$$

pero esto no implicaría que $r$ es un componente de algún vector porque no lo es - $r$ no es una coordenada.

Tampoco podríamos interpretar esto como cambiar el producto interno Euclidiano a un producto interno Minkowski. El lado derecho no es un producto interno ya que, de hecho, la ecuación anterior es simplemente

$$y^2 = x^2 - \mathbf v \cdot \mathbf v$$

De manera similar, $\tau$ no es una coordenada y no es un componente de un cuatricector. Escribimos, para un cuatricector de desplazamiento tipo tiempo $\vec x$

$$\tau^2 = \vec x \cdot \vec x = x^{\mu}x_{\mu} = t^2 - r^2$$

donde

$$t = \vec x \cdot \hat e_0 $$

Por lo tanto, aunque podríamos ciertamente escribir la ecuación

$$t^2 = \tau^2 + r^2$$

no interpretamos el lado derecho como un producto interno ya que la ecuación anterior es simplemente

$$t^2 = \vec x \cdot \vec x + r^2$$

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Al reemplazar el tiempo con el tiempo propio en el eje y del diagrama de Minkowski

En primer lugar, y más importante, el diagrama resultante no sería un diagrama de espacio tiempo en absoluto ya que la coordenada de tiempo estaría suprimida; $\tau$ no es una coordenada.

Mientras que un segmento de línea dirigido entre dos eventos en un diagrama de espacio tiempo es un cuatricector, dicho segmento de línea entre dos puntos en su diagrama no sería un cuatricector.

Una línea o curva en su diagrama podría ser interpretada como una trama de un conjunto de líneas de mundo; una trama de las coordenadas espaciales de los eventos que conforman las líneas de mundo contra el tiempo propio a lo largo de la línea de mundo.

Sin embargo, a partir de este diagrama, no podemos identificar los eventos actuales a lo largo de la línea de mundo ya que, en su diagrama, la coordenada de tiempo está suprimida.