¿Por qué los observables de la mecánica cuántica son independientes del tiempo?

Question

Conozco las dos imágenes, la de Schrödinger y la de Heisenberg, en las que la dependencia del tiempo la lleva el estado en la primera y el operador en la segunda. Sin embargo, ¿por qué tiene que ser o bien un xor ¿el otro? En otras palabras, estoy tratando de obtener una intuición a partir de los primeros principios en cuanto a cómo esa dicotomía en la dependencia del tiempo no existe en la mecánica clásica pero surge en la mecánica cuántica.

Llegué a plantearme la pregunta mientras veía una conferencia en el contexto de la óptica cuántica. En minuto 9:46 los operadores de escalera surgen de la nada a partir de una variable dependiente del tiempo $\alpha(t)$ relacionados con la amplitud del campo eléctrico mientras que los propios operadores de escalera son independientes del tiempo.

EDITAR : A la vista de las respuestas, comprendo que no haya necesariamente una dicotomía entre Schrödinger y Heisenberg y que sean concebibles muchas otras imágenes. Sin embargo, debería haber cambiado el énfasis en mi pregunta sobre por qué estas imágenes entran de repente en juego en el procedimiento de cuantización. Por ejemplo, considerando la cuantificación del momento $\vec{p}(t) \rightarrow \hbar \vec{\nabla}$ No entiendo por qué la dependencia del tiempo deja de repente de ser parte de lo observable y tiene que vivir en el estado (o viceversa). ¿Por qué la dependencia del tiempo tiene que ser barajada (de la manera que sea) cuando se pasa de lo clásico a lo cuántico? ¿O es simplemente uno de esos temidos "postulados"?

(PD: No he estudiado QFT, así que se agradecerían respuestas intuitivas de primeros principios).

Answer 1

Las mismas dos imágenes existen también en la mecánica clásica. $^\dagger$ La física clásica puede considerarse un caso especial de la física cuántica en el que todos los observables conmutan entre sí. Al igual que la física cuántica, la física clásica puede expresarse en la "imagen de Heisenberg" o en la "imagen de Schrödinger", y las dos imágenes son equivalente son sólo dos formas diferentes de pensar en la misma cosa.

$^\dagger$ Como se explica en otras respuestas publicadas aquí, no es realmente un dicotomía porque también hay otras fotos. El punto de mi respuesta es que la física clásica tiene las mismas "imágenes" que la física cuántica, no que sólo hay dos imágenes.

Perspectiva

En la física clásica, todos los observables conmutan entre sí, por lo que podemos (y lo hacemos) tomar siempre el estado como un estado propio de todos los observables.

Por esta razón, no necesitamos molestarnos en distinguir entre el estado y el observables en la física clásica, pero son lógicamente distintos: el estado es lo que nos dice los valores de los observables. Los observables representan el tipo de cosas que podemos medir, y el estado nos dice cuáles serán los resultados de esas mediciones.

(En la física cuántica, esta distinción es esencial, porque la mayoría de los observables no se conmutan entre sí, por lo que no todos pueden tener resultados de medición predecibles. El estado nos dice lo que obtendremos, pero sólo estadísticamente, cuando medimos observables).

Dos imágenes equivalentes

Para ilustrar las dos imágenes de la mecánica clásica, consideremos la mecánica clásica de un sistema de objetos que interactúan entre sí como en el modelo de gravedad de Newton:

• En el Imagen de Heisenberg El observables son el hecho de que podemos medir las posiciones de los objetos en cualquier momento deseado, y esas posiciones están relacionadas entre sí por las ecuaciones del movimiento. La página web estado especifica una solución particular de las ecuaciones de movimiento, que dota a todos esos observables (en cada momento) de valores específicos.

• En el Imagen de Schrödinger El observables son el hecho de poder medir las posiciones y los momentos de los objetos. El estado especifica un conjunto particular de valores para las posiciones y los momentos en un momento dado, y la evolución temporal del estado nos dice cómo evolucionan las posiciones y los momentos en el tiempo.

Si la distinción parece insignificante, es porque las dos imágenes son efectivamente equivalente . Cualquiera de las dos, por sí sola, explica toda la dependencia del tiempo. En la física clásica, cambiamos inconscientemente entre estas dos imágenes equivalentes. Tras la suficiente experiencia, también lo hacemos inconscientemente en la física cuántica.

El ejemplo de la pregunta

En cuanto al ejemplo de los operadores de escaleras que se menciona en la pregunta: No he visto la conferencia, pero la notación $\alpha(t)$ indica que el profesor está trabajando en la imagen de Heisenberg. El operador $\alpha(t)$ es un observable dependiente del tiempo. Las ecuaciones de movimiento de Heisenberg son probablemente las ecuaciones de Maxwell (sólo una suposición porque no vi la conferencia), pero con componentes valoradas por el operador $\alpha(t)$ de los campos.

Aunque el observable depende del tiempo (un operador diferente en diferentes momentos), el hecho de que la dependencia del tiempo esté gobernada por la ecuación de movimiento de Heisenberg implica que podemos escribir todos estos observables en términos de un conjunto común de operadores, los operadores de escalera. En este contexto, los operadores de escalera no están asociados a ningún tiempo en particular. Son simplemente operadores en el espacio de Hilbert que podemos utilizar para expresar todos los observables $\alpha(t)$ .

El análogo de la física clásica es que el campo electromagnético general dependiente del tiempo que satisface las ecuaciones de Maxwell puede escribirse en términos de un conjunto fijo de coeficientes no especificados. Los componentes dependientes del tiempo del campo electromagnético son los observables. El estado selecciona una solución específica especificando los valores de los coeficientes en esa solución general. Los operadores de escalera son análogos a los coeficientes, excepto que no podemos "especificar completamente sus valores" en la física cuántica, porque no conmutan entre sí.

Answer 2

Sin embargo, ¿por qué tiene que ser una cosa o la otra?

No es así. También es posible trabajar en esquemas mixtos, conocidos generalmente como Cuadro de Interacción, donde diferentes partes del hamiltoniano son responsables de la evolución temporal de los operadores y los estados.

Esto se utiliza sobre todo cuando el hamiltoniano tiene una parte "fácil" (que se resuelve primero, y se utiliza para conducir la evolución temporal de los operadores), y una parte más difícil que puede ser necesario resolver numéricamente o perturbativamente, con ambos enfoques más fáciles una vez que los componentes más simples se han resuelto.

Answer 3

Se pueden definir otros cuadros en los que los operadores obtengan parte de la dependencia temporal y los estados también. La página web imagen de interacción es uno de ellos y es probablemente la única implementación útil de esto. Se divide el Hamiltoniano en una parte "simple" y otra "difícil" de resolver. Los estados obtienen la parte simple de la evolución temporal mientras que los operadores obtienen la parte difícil de resolver.

Pero, ¿por qué no ocurre esto en la mecánica clásica? Esto es algo sutil, ya que la mecánica cuántica y la clásica son dos marcos matemáticos diferentes. La mecánica clásica describe trayectorias en el espacio de estados mientras que la mecánica cuántica describe la evolución del vector de estados completo $|\psi\rangle$ . Desde $|\psi\rangle$ entonces todavía tienes que extraer sus observables.

Existen varias fórmulas en términos de Paréntesis de Poisson que se parecen a la evolución del tiempo en QM. Por ejemplo $$\frac d{dt}A(p,q,t)=\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t}$$ Donde $A$ es sólo una función (el equivalente clásico de un operador). Otro ejemplo tomado directamente de Wikipedia: \begin{align} q(t)&=\exp(-t\{H,.\})q(0)\\ p(t)&=\exp(-t\{H,.\})p(0) \end{align} Estos "observables" son todos funciones regulares, así que cuando se pregunta por qué la mecánica clásica no tiene esto hay que tener cuidado con lo que se entiende por observables, estados, etc. Pero personalmente creo que la mayor razón por la que esto no funciona es que la MC es lineal en la evolución del tiempo mientras que la MC no lo es. Por ejemplo en la MC $$U(t)( q_1(0) + q_2(0)) \neq U(t)q_1(0) + U(t)q_2(0)$$ Debido a que las ecuaciones clásicas de movimiento no son lineales, no se puede tomar la evolución temporal de los estados y dársela a los observables.

Se puede (hasta cierto punto) poner en igualdad de condiciones a CM y QM. Por ejemplo este documento describió la mecánica clásica en términos de funciones de onda, por lo que es posible definir operadores clásicos. Pero las ecuaciones clásicas siguen sin ser lineales, por lo que este problema persiste. Nótese que la ecuación de onda clásica tiene algunos problemas, por lo que no es exactamente equivalente a las ecuaciones clásicas de los movimientos.

Answer 4

Aparte de que hay más que las imágenes de Schrodinger y Heisenberg, como se ha señalado, tampoco hay una forma única de pasar de la mecánica clásica a la cuántica. De hecho, hay muchos procedimientos de cuantificación, por ejemplo, la cuantificación canónica, la geométrica, la de Weyl y la de deformación, etc., y son formulaciones de espacio de fase de la mecánica cuántica, algunas de las cuales están directamente relacionadas con las dos últimas ideas de cuantificación.

Clásicamente, los estados evolucionan en el espacio de fase. Si el sistema de interés es conservador, la evolución se rige por el flujo del campo vectorial hamiltoniano y se satisface la ecuación de Liouville, es decir, se puede definir una densidad $\rho(p,q)dpdq$ que describe la probabilidad de que un estado se encuentre en algún volumen infinitesimal, de modo que $\partial \rho/\partial t = \{H,\rho\},$ avec $\{,\}$ el soporte de Poisson. Esta interpretación distributiva es especialmente útil para los conceptos de la mecánica estadística clásica.

Tradicionalmente, para la mecánica cuántica introductoria, se introduce primero la imagen de Schrodinger, en la que se supone que todos los estados son estados puros que se representan mediante objetos de valor complejo de un espacio de Hilbert (separable, quizás álgebra tensorial de un). Se puede pasar directamente de esta imagen a la imagen del espacio de fases de la mecánica cuántica a través de la Transformación de Weyl-Wigner que, a su vez, permite comparar directamente las ideas de la mecánica estadística clásica y la cuántica.

El procedimiento anterior es una cuantización directa de los objetos del espacio de fase clásico a una versión cuántica que es totalmente equivalente a la imagen de Schrodinger, sólo que en otra representación. Desde el punto de vista matemático, este procedimiento de cuantización es bastante fascinante, ya que emplea operadores pseudodiferenciales (cuyo pionero fue Weyl, y que fue decisivo en la demostración del teorema del índice de Atiyah-Singer, entre otras muchas áreas de las matemáticas), productos de Moyal, álgebras cuánticas, etc. Desde el punto de vista físico, Roy J. Glauber (galardonado con el Premio Nobel de Física en 2005) trabajó mucho en esta interpretación del espacio de fases de la mecánica cuántica, al tiempo que sentaba las bases del campo de la óptica cuántica. Este enlace contiene una entrevista con Glauber de 2005.

La formulación del espacio de fase que he descrito no es en realidad la única disponible; cf. aquí para las alternativas.

En cuanto a su pregunta de por qué se baraja la dependencia del tiempo - En la mecánica cuántica no relativista de estado puro, no importa realmente qué imagen se utilice para la mayoría de las cuestiones elementales. En varias aplicaciones, como la óptica cuántica o la mecánica cuántica relativista, ciertos cálculos pueden ser significativamente más sencillos en alguna representación distinta de la imagen de Schrodinger.