La suma de los cubos de tres números enteros consecutivos es divisible por $9$

Question

La pregunta está en el título y mi intento viene aquí:

Sea $n\in\mathbb{Z}$, entonces debemos analizar $$(n-1)^3+n^3+(n+1)^3=3n(n^2+2)$$ así que si podemos mostrar que $n(n^2+2)$ es divisible por $3$ hemos terminado. Así que lo divido en tres casos

1. $n\equiv 0 \ (\mathrm{mod} \ 3)$ significa que hemos terminado.

2. $n\equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 3)$, entonces $n^2\equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 3)$ y luego $3\mid(n^2+2)$ y hemos terminado.

3. $n\equiv 2 \ (\mathrm{mod} \ 3)$, entonces $n^2\equiv 1 \ (\mathrm{mod} \ 3)$ y luego nuevamente $3\mid(n^2+2)$ y en este caso también obtenemos el resultado deseado.

En primer lugar, ¿es esto correcto? Y en segundo lugar, si es correcto, ¿hay una manera más elegante de demostrar este resultado?

¡Gracias!

Answer 1

Las clases mod $9$ de los cubos de $0, \ldots, 8$ son $$0, \, 1, \, -1, \, 0, \, 1, \, -1, \, 0, \, 1, \, -1.$$ La suma de cualquier tres consecutivos de ellos es claramente $0$.

Answer 2

Sí, tu forma es correcta. Un método alternativo (que dejo que determines si es más elegante o no):

$$(n+1)^3 +n^3 +(n-1)^3 = 3n(n^2+2) = 3n(n^2-1+3)\\=3n((n-1)(n+1)+3)=3(n-1)n(n+1)+9n$$

De los números consecutivos $(n-1), n, (n+1)$ uno es divisible por $3$, lo que deja que el término sea divisible por 9.

Answer 3

Puedes observar que $$n(n^2+2)\equiv n(n^2+3n+2)\equiv n(n+1)(n+2) \bmod 3$$ y que el producto de tres enteros consecutivos es divisible por $3$

Answer 4

Ya sea que $n$ sea divisible por $3$ o no lo sea.

Si lo es, entonces $n(n^2+2)$ es claramente divisible por $3$.

Si no lo es, entonces debe ser coprimo con $3$ (ya que $3$ es primo), entonces por el pequeño teorema de Fermat tenemos $n^2 \equiv 1 \pmod 3$, por lo tanto $n^2+2 \equiv 0 \pmod 3$, entonces $n^2+2$ es divisible por $3$, al igual que $n(n^2+2)$.