$T(F' \circ F) = TF' \circ TF$

Question

Dejemos que $M, N,P$ sean variedades suaves y $F : M N, F' : N \to P$ son mapas suaves. Sabemos que hay mapas suaves correspondientes $TF : TM \to TN, TF': TN \to TP$ , donde $TM$ denota el haz tangente.

Ahora $F' \circ F : M \to P$ es un mapa suave.

Desde aquí podemos decir que $T(F' \circ F) = TF' \circ TF$ ?

¿Es correcta la razón anterior?

Answer 1

¿Tal vez podamos ir por la prueba siguiendo la definición de pushforward también?

Basta con demostrar que $\forall\,p\in M$ , $\forall\,X_p\in T_pM$ , $\forall\,f\in C_{F'\circ F(p)}^{\infty}(P)$ , $$ \left\{\left[T(F'\circ F)\right]_p(X_p)\right\}(f)=\left[TF'_{F(p)}\circ TF_p(X_p)\right](f). $$ Siempre que la suavidad de $F$ y $F'$ tenemos $f\circ F'\in C_{F(p)}^{\infty}(N)$ y $f\circ F'\circ F\in C_p^{\infty}(M)$ . Así, por un lado, $$ \left\{\left[T(F'\circ F)\right]_p(X_p)\right\}(f)=X_p\left[f\circ\left(F'\circ F\right)\right]=X_p(f\circ F'\circ F). $$ Por otro, \begin{align} \left[TF'_{F(p)}\circ TF_p(X_p)\right](f)&=\left\{TF'_{F(p)}\left[TF_p(X_p)\right]\right\}(f)\\ &=\left[TF_p(X_p)\right](f\circ F')\\ &=X_p\left[(f\circ F')\circ F\right]=X_p(f\circ F'\circ F). \end{align} Gracias a la arbitrariedad de $p$ , $X_p$ y $f$ los dos resultados anteriores conducen a $$ T(F'\circ F)=TF'\circ TF. $$