Así, el problema con tu argumento es que usted asume el espacio de Hilbert de dos partículas es el producto tensor de dos partículas de Hilbert espacios y, a continuación, indistinguishability le da un cociente de las dos partículas en el espacio de Hilbert. Esta no es la manera más correcta de pensar en ello.
La manera correcta, volviendo a la (bella) documento original de Leinaas y Myrrheim, es digitalizar los dos partículas de tomar indistingushability en cuenta durante la cuantificación.
Voy a resumir la idea aquí sin hablar de haces de fibras, para más detalles vale la pena ir a través de ese papel. Mi conocimiento elemental de los haces de fibras fue suficiente para conseguir a través de la mayor parte de ella en una tarde (la parte con la vuelta es un poco más confusa, y también se parece un poco a pescado de una manera que no puedo precisar).
Si postulamos que dos partículas son idénticas, nuestro cuantificación en sí debe reflejar; es decir, si vemos la cuantificación como un proceso de asignación de una base de elemento para cada punto en el espacio de configuración $(x_1,x_2)$ debe ir a la misma base de elemento como $(x_2,x_1)$.
Sin embargo, es diferente de decir que $\psi(x_1,x_2) = \psi(x_2,x_1)$, ya que hay un montón más de la estructura del espacio de Hilbert de sólo `la asignación de una base de elemento para cada punto en el espacio de configuración.' En particular, se requieren generalmente la continuidad y la diferenciabilidad (que voy a llamar a esta suavidad, de la ignorancia de los detalles) de la función de onda; no debería haber ningún antinatural salta si pasamos de $(x_1,x_2)$$(x_2,x_1)$.
Usted debe estar preguntándose, ¿por qué esta suavidad requisito de dar mayor estructura? Para eso, vamos a tomar una digresión, basado en Dirac del monopolos magnéticos de papel. Considere una partícula en el espacio 3-d. La función de onda se define sólo a una fase, ¿recuerdas? Bien, entonces, ¿por qué insistimos en que la fase existe realmente? Lo único que tenemos que estrictamente necesita es las diferencias de fase. Por lo tanto, si tomamos las palabras en serio, estamos obligados a concluir que la única razón por la que tiene sentido hablar de la fase absoluta de una función de onda es que algunos de fase de la función que da el corregir las diferencias de fase existe. Más precisamente, hay una físicamente significativa campo de vectores $\kappa$ que codifica las diferencias de fase. De forma heurística, queremos que esto se $\nabla \phi$ donde $\phi$ es una función de la fase. Pero, esto sólo es posible a nivel mundial si $\nabla \times \kappa = 0$. Si $\nabla \times \kappa \ne 0$ (como es el caso cuando hay un flujo magnético; otro caso en el que esto es posible, aunque no necesario, donde la probabilidad de encontrar la partícula es $0$), lo que podemos hacer es elegir los parches donde $\nabla \times \kappa = 0$ y definir una función de fase dentro de cada parche. La restricción sobre los parches que se puede elegir es dada por los hechos que $\oint \kappa \cdot dl \ne 0$ cada vez que el bucle es tal que cualquier superficie que termina el bucle que pasa a través de un punto donde$\nabla \times \kappa \ne 0$, mientras que de $\oint \nabla \phi \cdot dl = 0$ necesariamente; no hay un solo parche puede tener uno de estos "no contráctiles' bucles.* Con esta restricción se toma cuidado de, supongamos, por definición, tiene dos parches $A$ y $B$ ($\mathbb{R}^3 - (A \cup B)$ es el conjunto de puntos donde $\nabla \times \kappa \ne 0$); a continuación, hay dos funciones de fase $\phi_A$ $\phi_B$ y la consistencia de la condición es que $\nabla \phi_A |_{A \cap B} = \nabla \phi_B |_{A \cap B} = \kappa |_{A \cap B}$. La conclusión es que hay un sentido en el cual la función de onda puede tener varios valores, y eso es porque nos hemos impuesto suavidad en las diferencias de fase; y tenemos varios valores-ness si hay no contráctiles de bucles.
Ahora, antes de regresar a dos partículas, supongamos que el espacio en realidad tenía un agujero. Entonces, no habría razón para $\oint \kappa \cdot dl$ a lo largo de un no-contráctiles circuito a $0$. Así, varios valores-ness es una característica general de los espacios con los que no contráctiles de bucles.
Ahora regresemos a dos partículas. A revisión, hemos asignado a una base de elemento (y, por tanto, una $1-$dimensiones de espacio de Hilbert para cada punto en el $6-$d el espacio de configuración, con la restricción de que hemos asignado en la misma base del elemento de a$(x_1,x_2)$$(x_2,x_1)$. Otra forma de pensar acerca de esto es que se pliegan el espacio de configuración, de manera que ahora tenemos algunas rara espacio en el que se $(x_1,x_2)$ $(x_2,x_1)$ son el mismo punto (si las partículas son en 1-d, este espacio plegado se parecen a los que llegamos después de doblar un pedazo cuadrado de papel a lo largo de la diagonal). Ahora, este espacio plegado tiene un límite -- el $x_1 = x_2$ bits. Lo principal que quiero mostrar aquí es que hay un no-contráctiles bucle de aquí, y estos no contráctiles bucles son cualitativamente diferentes en 2 y 3 dimensiones.
Considerar la función de onda como de partícula de 1 va alrededor de la partícula 2, que se fija en $a$ (esto es , no el movimiento físico -- somos simplemente el seguimiento de los cambios en la función de onda). En 3 dimensiones, este bucle es contráctiles; sólo cambia el plano del bucle hasta que no encierre la otra partícula y, a continuación, reducir su tamaño. Por lo tanto, en tres dimensiones de la función de onda es de valor único y su argumento funciona. En 2 dimensiones, sin embargo, no lo es, y por lo tanto la función de onda puede ser de varios valores. Las partículas para que este multvalued-ness vueltas se llaman anyons.
Nota: un montón de gente va a responder a esta en términos de adiabática movimiento de las partículas alrededor de la otra. La razón de esto es que adiabático movimiento se aproxima a la de seguimiento del cambio de la función de onda " que he descrito en el párrafo anterior.
*La palabra no contráctiles parece un poco raro en mi exposición. La intuición es esta: si usted tomó las regiones donde $\kappa$ tiene un rizo a ser agujeros en el espacio, a continuación, estos bucles sería que no se pueden suavemente ser contratado a $0$.
