Cualquier forma intuitiva de entender el gráfico para $x^x$ ?

Question

¿Por qué cambia de dirección alrededor de $x=0.36787$ ? Pregunto más concretamente por qué es un número tan arbitrario. ¿Se trata este número igual que los otros números matemáticos famosos como $\pi$ , $e$ ¿o la proporción áurea?

Me doy cuenta de que como $x\rightarrow0 \implies x^x \rightarrow x^0$ y $x^0=1$ lo que significa que tiene que haber un mínimo global cuando $0\lt x \lt1$ . Pero me preguntaba si había una forma más intuitiva de entender el porqué de esto.

Answer 1

Dado $y = x^x$ podemos utilizar la diferenciación logarítmica para responder a tu pregunta:

$$\ln(y) = x\ln(x).$$ Diferenciando, entonces, obtenemos $$\frac{y'}{y} = \ln(x) + 1$$ y así $$y' = y\bigl(\ln(x) + 1\bigr) = x^{x}\bigl(\ln(x)+1\bigr) = x^x\ln(ex).$$

Por lo tanto, tenemos $y' = 0 \iff x = \frac{1}{e}$ que es donde se produce el mínimo global.

Answer 2

La razón más intuitiva por la que el mínimo se produce en $x=1/e$ es que tienes una bonita familia de racional soluciones a $x^x=y^y$ dado por $$ x=x_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^n,\quad y=y_n=\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n+1}. $$ y es elemental que $x_n\downarrow 1/e$ mientras que $y_n\uparrow 1/e$ .

Cómo conseguir esta familia : Tome el registro de ambos lados de $x^x=y^y$ y reordenamos, tenemos $\log_y x=\frac{y}{x}=\frac{p}{q}$ en la forma más baja. Así que $x=\frac{qy}{p}$ y $x^x=y^y$ da $y^y=(qy/p)^{qy/p}$ que después de tomar $y$ -raíz de ambos lados, se reduce a $y=(p/q)^{q/(q-p)}$ . Una forma fácil de asegurarse $x$ es racional es hacer $p=q-1$ Así que $y=((q-1)/q)^q$ y $x=((q-1)/q)^p$ , ahora reetiqueta $p$ como $n$ , $q$ como $n+1$ .

Answer 3

La razón es por su derivado $$x^x\times(1+ln(x))=0$$ $$x^x!=0, (1+ln(x))=0$$ $$ln(x)=-1$$ $$x=\frac{1}{e}$$ $$x = 0.36787944117144233$$ Por eso.