Dos funciones de Bessel

Question

Dejemos que $I_k$ denotan la función de Bessel modificada del primer tipo de índice $k$ . Demuestre que, si $y > x > 0$ entonces $$-I_0(x)I_1(y) + I_0(y)I_1(x) <0$$

Estoy buscando una fuente que proporcione esta información.

Answer 1

A partir de la representación integral $$I_0(x)I_0(y)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi I_0(\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta})d\theta,$$ utilizando la fórmula $I_1(x)=I_0'(x)$ vemos inmediatamente que $$-I_0(x)I_1(y)+I_0(y)I_1(x)=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi \frac{I_1(\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta})}{\sqrt{x^2+y^2-2xy\cos\theta}}(x-y)(1+\cos\theta)d\theta.$$ Para $0<x<y$ esto es claramente menos que $0$ , demostrando así que $$-I_0(x)I_1(y)+I_0(y)I_1(x)<0,~0<x<y.$$

Desde $I_1(x)/x$ es monótonamente creciente para $x>0$ también es posible demostrar una desigualdad más fuerte

$$-I_0(x)I_1(y)+I_0(y)I_1(x)<-I_1(y-x),~0<x<y.$$

Answer 2

Hay un lema útil que resuelve la cuestión muy bien aquí.

Si $f(z)$ y $g(z)$ son dos funciones analíticas reales en una vecindad $U$ del origen, $$f(z)=\sum_{n\geq 0}a_n z^n,\qquad g(z)=\sum_{n\geq > 0}b_n z^n$$ con $a_n,b_n>0$ y la secuencia $\left\{\frac{a_n}{b_n}\right\}_{n\geq 0}$ siendo un secuencia creciente/descendente,
entonces la relación $r(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$ es una función creciente/decreciente sobre $U$ .

La prueba no es difícil: basta con considerar $f'g-g\, f'$ en términos de series de potencia para deducir que $\frac{dr}{dx}$ tiene un signo constante. En nuestro caso, los coeficientes de $I_0(x)$ y $I_1(x)$ tienen una estructura simple, y el lema anterior conduce a:

• $\displaystyle\frac{I_0(x)}{I_1(x)}$ es una función decreciente sobre $\mathbb{R}^+$ ;
• $\displaystyle\frac{x\cdot I_0(x)}{I_1(x)}$ es una función creciente sobre $\mathbb{R}^+$ .

Además, $\frac{I_0}{I_1}$ tiene una muy buena representación en términos de fracciones continuas que hace que las afirmaciones anteriores sean casi triviales.