Tengo una pregunta (¿simple?) sobre las transformadas de Fourier.
Consideremos un hamiltoniano 1D de la forma \begin{equation} H = -JS\sum_{j = 1}^{N-1}a_{j+1}^\dagger a_j + a_j^\dagger a_{j+1} - a^\dagger_{j+1}a_{j+1} - a^\dagger_j a_j \end{equation} donde $J$ es un acoplamiento entre dos vecinos más cercanos, y $S$ es la proyección de espín a lo largo de algún eje z, es decir, una cadena ferromagnética estándar con $N$ sitios de la red y espaciamiento de la red $d$ .
Para diagonalizar esto se introducen típicamente los operadores de creación/anilación transformados de Fourier \begin{equation} a_j = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_k e^{ik jd}a_{k}. \end{equation} Esto está bien siempre que asumamos condiciones de contorno periódicas tales que $a_{j+N}=a_{j}$ .
Consideremos ahora el caso en el que dejamos que $N\rightarrow \infty$ . En este caso, ya no tiene sentido utilizar condiciones de contorno periódicas. ¿Cómo definimos entonces una transformada de Fourier para diagonalizar un problema de este tipo?
¿Es tan sencillo como escribir \begin{equation} a_j = \int dk e^{ikjd}a_{k} \end{equation} ?
