Medias en serie

Question

Tengo una serie de números: $1,2,3$

Estoy calculando un promedio simple entre, ellos $(2)$ .

Ahora, estoy borrando la serie y no tengo información sobre cuántos elementos había en la serie o cuáles son los valores de los elementos de la serie, pero mantengo el valor medio $(2)$ .

Ahora, tengo otra serie: $4,5,6$ . Calculo la media $(5)$ .

¿Es correcto decir que si tomo la media de la serie anterior $(2)$ y hacer una nueva media entre ella y la nueva media de la serie $(5)$ siempre obtendré un resultado preciso para la media de la combinación de las dos series (serie $[1]$ y series $[2]$ )?

Answer 1

Sí, si las series contienen la misma cantidad de números. No, en caso contrario.

• Si las series contienen la misma cantidad de números, se tiene $a_1,\dots, a_n$ y $b_1,\dots,b_n$ . Ahora la media de la primera es $a=\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}$ y el segundo $b=\frac{b_1+\cdots b_n}{n}$ . La media de $a$ y $b$ es $$\frac{a+b}{2} = \frac{\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}+\frac{b_1+\cdots+b_n}{n}}{2}=\frac{a_1+\cdots+a_n + b_1+\cdots+b_n}{2n}$$ que es la media de $\{a_1,a_2,\dots,a_n,b_1,b_2,\dots,b_n\}$ .

• Si las series están desequilibradas, la respuesta general es no. Si una serie es $\{0\}$ y la segunda serie es $\{1,1,1,1,1,1,1,1,\dots,1\}$ ( un conjunto de $k$ de los mismos), entonces el promedio de los promedios es siempre $\frac12$ mientras que la media real de la combinación es $\frac{k}{k+1}$ . Como $k$ se hace grande, este valor se acerca a $1$ .

En general, la media de la combinación de las dos series es una combinación convexa de las medias individuales. Esto se puede ver manipulando las fórmulas de las medias. Si las series son $a_1,\dots, a_m$ y $b_1,\dots, b_n$ entonces la media es $$\frac{a_1+\cdots+a_m+b_1+\cdots b_n}{m+n} = \frac{a_1+\cdots +a_m}{m+n}+\frac{b_1+\cdots +b_n}{m+n} =\\= \frac{m}{m+n}\frac{a_1+\cdots +a_m}{m}+\frac{n}{m+n}\frac{b_1+\cdots +b_n}{n} = \alpha a + \beta b$$ donde $alpha = \frac{m}{m+n}$ y $\beta = \frac{n}{m+n}$ y $a,b$ son las medias de las series individuales.

Answer 2

No, no lo es.

Si se conoce el número de términos de cada serie y sus promedios, se pueden reconstruir los totales y obtener los promedios correctos, pero si el número de términos difiere, no se obtendrá el resultado correcto.