Si $\sum_{n \geq 1}a_{n}$ converge, y $a_{n} > 0$ Entonces...

Question

¿Es cierto o falso que si $\sum_{n \geq 1}a_{n}$ converge, y $a_{n} > 0$ para todos $n \in \mathbb{N}$ entonces existe $k \in \mathbb{N}$ tal que $a_{n+1} \leq a_{n}$ para todos $n \geq k$ ?

Creo que es cierto porque $a_{n} \to 0$ (cuando $n \to \infty$ ) y también $(a_{n})$ es positivo, por lo que debe haber un punto a partir del cual $(a_{n})$ es monótonamente decreciente...

Pero suena demasiado simple así que no estoy seguro...

Answer 1

Considere $a_n = \left( \frac 1 3 \right)^n$ y $b_n = \left( \frac 1 2 \right)^n$ y la serie

$$a_1 + b_1 + a_2 + b_2 + a_3 + b_3 + \dots = \sum _{n \ge 1} c_n$$

donde $c_n = \begin{cases} a_{\frac {n+1} 2}, & n \text{ odd} \\ b_{\frac n 2}, & n \text{ even} \end{cases}$ . La serie es absolutamente convergente.

Observe que $c_{2k-1} = a_k = \left( \frac 1 3 \right)^k \le \left( \frac 1 2 \right)^k = c_{2k}$ pero $c_{2k} = \left( \frac 1 2 \right)^k \ge \left( \frac 1 3 \right)^{k+1} = c_{2k+2}$ .

Un ejemplo más complicado: $\sum \Bbb e^{-n} (1 + \sin n)$ - de nuevo, absolutamente convergente, pero con "términos oscilantes".