Utilizando el método espectral para resolver $Ax=b$

Question

No encuentro dónde he cometido un error de cálculo al aplicar el método espectral para resolver $Ax=b$ .

Me han dado $A = \begin{pmatrix} 7 &-2 & 1 \\ -2 & 10 & -2 \\ 1 & -2 & 7 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 6 \\ 12 \\ 18 \end{pmatrix}$ .

He empezado por calcular los valores y vectores propios, tengo los valores propios $r_1 = 12, r_2 = 6, r_3 = 6$ con vectores propios $v_1 = (1,-2,1), v_2 = (-1,0,1), v_3 = (2,1,0)$ respectivamente.

Ahora, $x$ por el método espectral viene dado por $$\displaystyle x= \frac{u_1\cdot b}{r_1}u_1 + \frac{u_2\cdot b}{r_2}u_2+\frac{u_3\cdot b}{r_3}u_3.$$

Normalizar $v_1,v_2,v_3$ Me sale $u_1=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} \\ \sqrt{\frac{2}{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} \end{pmatrix} ,u_2 = \begin{pmatrix}\frac{-1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}, u_3 = \begin{pmatrix} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \\ 0 \end{pmatrix}.$

Así que $x = 0 + \frac{6\sqrt{2}}{6}\left(-1/\sqrt{2},0,1/\sqrt{2}\right) + \frac{4}{\sqrt{5}}\left(2/\sqrt{5},1/\sqrt{5},0\right)=(7,4,1).$

Esto no satisface $Ax=b$ -- No puedo encontrar mi error. Por el método normal de reducción de filas, obtengo $x=(1,2,3)$ . Wolfram también lo confirma. ¿Estoy aplicando incorrectamente algo aquí?

Answer 1

Su llamado método espectral funciona si los vectores propios forman una base ortonormal, pero éste no es el caso: su $v_2,v_3$ ni siquiera son mutuamente ortogonales.

Answer 2

Para ampliar la respuesta del usuario1551: Dos valores propios de su $A$ son iguales, y has elegido dos vectores propios (correctos): Ambos $v_2$ y $v_3$ tienen un valor propio $6$ pero $v_2\cdot v_3\neq 0$ y la fórmula del "método espectral" para $x$ requiere vectores propios ortonormales.

Sin embargo, cualquier combinación lineal de $v_2$ y $v_3$ también será un vector propio con valor propio $6$ para que puedas elegir, por ejemplo $v_2$ y $\tilde{v}_3=v_3+a v_2$ con un adecuado $a$ para que $v_2\cdot \tilde{v}_3=0$ y continuar a partir de ahí.