¿Es cierto que para cualquier subconjunto incontable T de $\mathbb R$ se puede encontrar un subconjunto S de T tal que S es contable. Si es así, ¿cómo podemos demostrarlo?
Gracias.
Edición: ¿Existe un subconjunto contable S de T tal que para cada elemento $t\in T$ existe $s\in S$ tal que $s\geq t$ ?
Sí, todo conjunto infinito tiene un subconjunto contablemente infinito.
Sin embargo, este subconjunto contable no necesita ser constructivo (no tenemos que tener una fórmula bonita que lo defina), porque su existencia requiere un fragmento del axioma de elección (que nos permite hacer infinitas elecciones arbitrarias a la vez). En efecto, es consistente en ausencia del axioma de elección que exista un conjunto infinito de números reales que no tenga un subconjunto contablemente infinito (esto implica que este conjunto es incontable).
En el análisis real común, y especialmente en el introductorio, el axioma de elección se asume de principio a fin, por lo que puede ignorar la divagación anterior si lo desea.
He aquí una prueba más formal:
Dejemos que $T$ sea un conjunto incontable. Elija $S_n$ sea un subconjunto finito de $T$ con $n$ elementos. Siempre es posible elegir un conjunto de este tipo porque $T$ es incontable. Ahora dejemos: $$ S = \bigcup_{n=1}^\infty S_n $$
Este conjunto es una unión contable de conjuntos finitos. Por lo tanto, es a lo sumo contable. $S$ debe ser infinito porque para todo $n \in \mathbb{N}$ , hay $S_n \subset S$ . En otras palabras, no hay $n$ para lo cual $|S| < n$ .
Todo conjunto incontable tiene un subconjunto propio contable. Elige un punto cualquiera $x_1$ . Habiendo elegido un número finito de puntos distintos, $x_1,\ldots,x_n$ Siempre se puede elegir $x_{n+1}$ distintos de los anteriores. De esta manera se termina con una secuencia de puntos $x_1,x_2,x_3,\ldots$ que es el subconjunto contable necesario.
Entiendo que tu edición es la pregunta que querías hacer, es decir
¿Existe un subconjunto contable S de T tal que para cada elemento $t\in T$ existe $s\in S$ tal que $s\geq t$ ?
Así que dejemos $T$ ser incontable.
Si $T$ está acotado por encima entonces tiene un supremum $\eta$ . Si $\eta \in T$ entonces deja que $S = \{ \eta \}$ . De lo contrario, deja que $S = \{ \eta_n\, :\, n \in \mathbb{N} \}$ donde $(\eta_n)_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia estrictamente creciente en $T$ convergiendo a $\eta$ .
Si $T$ no tiene límites, entonces dejemos que $S = \{ \eta_n\, :\, n \in \mathbb{N} \}$ , donde $(\eta_n)_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia estrictamente creciente en $T$ que tiende a $\infty$ .
En cualquier caso, por construcción, para cada $t \in T$ existe $s \in S$ tal que $s \ge t$ como usted debe verificar; y $S$ es claramente contable.
Si necesita $S$ para ser contablemente infinito entonces, en el caso $T$ limitado y $\sup T = \eta \in T$ dado anteriormente, dejemos que $S'$ sea cualquier subconjunto contablemente infinito de $T$ (por ejemplo, construido como en la respuesta de Ayman Hourieh) y luego dejar que $S = S' \cup \{ \eta \}$ .
Dejemos que $\sim$ sea la relación de equinumerosidad . Entonces, defina la relación $\prec$ en la clase de conjuntos módulo $\sim$ por: $A \prec B$ si existe una inyección $A \to B$ .
Según Teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder , $\prec$ es una relación de orden. Además, Teorema de Zermelo afirma que $\prec$ es lineal.
Por lo tanto, si $A$ es un conjunto incontable, entonces $\mathbb{N} \prec A$ y existe una inyección $\phi : \mathbb{N} \to A$ ; $\phi(\mathbb{N})$ es un subconjunto contable de $A$ .
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