Operadores adjuntos y espacios de producto interior

Question

Mi libro de álgebra lineal da la definición del Operador Adjunto y luego dice,

Deberías verificar las siguientes propiedades:

• Additividad: $(S + T)^* = S^* + T^*$
• Homogeneidad conjugada: $(aT)^* = \overline{a}\,T^*$
• Adjunto del adjunto: $(T^*)^* = T$
• Identidad: $I^* = I$, donde $I$ es el operador identidad en $V$.

He estado mirando las páginas durante un par de horas. ¿Cómo se verifica esto?

Aquí está mi intento de demostrar el Adjunto del Adjunto: $(T*)* = (T*v, w)* = (v, Tw)* = (Tv, w) = T

¿Esa es una razón correcta?

Por cierto, esto NO es tarea. Solo estoy leyendo por placer.

¡Gracias!

Answer 1

El adjunto de una transformación se define como la transformación única $T^{*}$ tal que $$ \langle Tx, y \rangle = \langle x , T^{*}y \rangle $$ para todo $x$ e $y$.

Entonces, para demostrar cualquiera de tus igualdades anteriores, simplemente necesitas mostrar que la transformación que deseas sea el adjunto cumple esta propiedad. Generalmente puedes hacerlo utilizando las propiedades de un producto interno.

Por ejemplo, para demostrar $(T^{*})^{*} = T$ necesitas mostrar que para cualquier $x, y$ $$ \langle T^{*}x , y \rangle = \langle x , Ty \rangle.$$ Esto se sigue porque $\langle T^*x,y\rangle= \overline{\langle y , T^*x \rangle} = \overline{\langle Ty, x \rangle} = \langle x , Ty \rangle$.

Answer 2

Estoy asumiendo que estás trabajando en algún espacio de Hilbert $\mathbb{H}$. El hecho clave es que cualquier funcional lineal continuo $f: \mathbb{H} \to \mathbb{C}$ puede ser representado por un elemento único $\phi \in \mathbb{H}$ en el sentido de que $f(x) = \langle \phi, x \rangle$ para todo $x \in \mathbb{H}$ (y conversamente cualquier elemento $\phi \in \mathbb{H}$ determina un único funcional lineal continuo en $\mathbb{H}$). Un poco de trabajo muestra que $\|f\| = \|\phi\|$. La gran cosa aquí es la unicidad.

Ahora supongamos que $T: \mathbb{H} \to \mathbb{H}$ es un operador lineal continuo y $y \in \mathbb{H}$. Entonces $f_y(x) = \langle y, Tx \rangle$ es un funcional lineal continuo, y puede ser representado por algún $\phi_{y} \in \mathbb{H}$, es decir, $f_y(x) = \langle \phi_{y}, x \rangle$. Es fácil de mostrar usando la unicidad que $\phi_{\lambda y} = \lambda \phi_y$ y $\phi_{y_1+y_2} = \phi_{y_1}+\phi_{y_2}$, por lo tanto, la asignación $y \mapsto \phi_y$ es lineal. Además, dado que $|f_y(x)| = |\langle \phi_{y}, x \rangle| \leq \|x\| \|y\| \|T\|$, eligiendo $x=\frac{\phi_y}{\|\phi_y\|}$ (o cero, si $\phi_y=0$) muestra que $ \| \phi_y \| \leq \|T \| \|y\|$, por lo tanto, la asignación $y \mapsto \phi_y$ es acotada, y por lo tanto continua. En lugar de escribir $y \mapsto \phi_y$, ahora usamos la notación más común $T^* y = \phi_y$. Hemos demostrado que $T^*$ es lineal, continuo, y completamente definido por el requisito de que $\langle T^*y, x \rangle = \langle y, Tx \rangle$ para todo $x,y \in \mathbb{H}$.

Todas las otras propiedades se siguen de este requisito y las propiedades del producto interno.

Por ejemplo, para mostrar aditividad: $\langle (S+T)^*y, x \rangle = \langle y, (S+T)x \rangle = \langle y, Sx \rangle + \langle y, Tx \rangle = \langle S^*y, x \rangle + \langle T^*y, x \rangle = \langle (S^*+T^*)y, x \rangle$, por lo tanto $(S+T)^* = S^*+T^*$.

Para el adjunto del adjunto: $\langle (T^*)^*y, x \rangle = \langle y, T^*x \rangle = \overline{\langle T^*x,y \rangle} = \overline{\langle x,Ty \rangle} = \langle Ty,x \rangle$, por lo tanto $(T^*)^* = T$.

Ahora intenta con el resto.

Answer 3

Para el problema $ (T ^ *) ^ * = T $:

$$ \langle (T ^ *) ^ * v, w \rangle = \langle v, T ^ * w \rangle = \langle Tv, w \rangle $$

por definición del adjunto.

Answer 4

La adjunta de una transformación se define como la única transformación $T^\ast$ de modo que $$\langle Tx,y\rangle = \langle x,T^\ast y\rangle$$ para todo $x$ y $y$. Entonces

$$\langle T^{\ast\ast} x, y\rangle = \langle x, T^\ast y\rangle = \overline{\langle T^\ast y, x\rangle} = \overline{\langle y, Tx\rangle} = \langle Tx,y\rangle.$$

Y obtendremos que $\langle T^{\ast\ast}x, y\rangle = \langle Tx, y\rangle$ implica que $T^{\ast\ast} = T$.