¿Entender las integrales delta de Dirac?

Question

Estoy confundido en cuanto a cómo integrar exactamente usando la función delta de Dirac. Tengo el siguiente ejemplo: $$\int \delta (x-4)(x^3-4x^2-3x+4)dx$$ y me han dicho que esto se evalúa en 8. ¿Alguien puede explicarme paso a paso cómo llegar a este punto? Me cuesta mucho entender cómo funciona esta integración, ya sé que $\int \delta (x) =1$ pero no veo cómo aplicar esto.

Answer 1

En general, para las funciones "suficientemente bonitas" (y los polinomios son ciertamente suficientemente bonitos)

$$\int \delta(x) f(x) \,dx = f(0)$$

En cierto sentido, el Dirac- $\delta$ es "infinito" en $x=0$ y $0$ en cualquier otro lugar, por lo que, si la emparejas con otras funciones en una integral, hace un trabajo realmente bueno para singularizar el valor de la función en $0$ . (nótese que el delta de Dirac es en realidad una distribución, por lo que este "infinito en $0$ " es un poco impreciso, pero por ahora estará bien).

Del mismo modo, si aplicáramos traducciones simples, $\delta(x - c)$ sería "infinito" en $x = c$ Así que

$$\int \delta(x-c) f(x) \,dx = f(c).$$

Asimismo, si también traducimos $f$ , obtenemos cosas como

$$\int \delta(x-c_1) f(x - c_2) \,dx = f(c_1 - c_2).$$

Answer 2

La idea es evaluar el resto del integrando en el punto donde el argumento de $\delta$ desaparece (esto sólo funciona si el argumento de $\delta$ es de la forma $x-c$ por cierto). El argumento desaparece cuando $x-4 = 0$ , es decir , en $x=4$ así que evalúa el resto del integrando en $4$ .

Existe una fórmula más general para tratar el caso en que el argumento de $\delta$ es un producto de factores lineales simples sin raíces repetidas (búsquelo).