Atascado en la determinación del valor de verdad utilizando la prueba

Question

Necesito su consejo/ayuda con respecto a estas preguntas.

Q. Sea p(x,y) el predicado x divide a y. Determine el valor de verdad de cada afirmación y dé un ejemplo o un contraejemplo para las afirmaciones.

1) x y p(x,y)
A. Supongo que es cierto, pero en el fondo me cuesta entender cómo es verdad.

Mi lógica dice que, por ejemplo, si suponemos que x = 3 e y = 15, entonces y =15 se puede dividir por este x =3 y también x = 5, por lo que es cierto. Pero la confusión es cómo esto cubre cada x (¿Cómo cada x puede dividir y?)

2) y x p(x,y)
Esto parece falso, pero ¿cómo?

3) x y p(x,y)
A. ?

4) y x p(x,y)
A.
?

Agradecería si alguien me ayuda en estas cuestiones. Básicamente estoy luchando el en el concepto de Para todo x y para algunos y aquí en tales preguntas.

EDIT: Para la P.4 Respuesta:
(0 | 0 y 1 | 0 y 2 | 0 y 3 | 0 y 4 | 0 .....)
----------------OR----------------------------
(0 | 1 y 1 | 1 y 2 | 1 y 3 | 1 y 4 | 1 .....)
--------------------OR---------------------------
(0 | 2 y 1 | 2 y 2 | 2 y 3 | 2 y 4 | 2 .....)

Por lo tanto, la primera fila es falsa ya que 0 | 0 es falso y, de manera similar, la segunda y la tercera fila también son falsas, lo que hace que toda la declaración sea falsa.

Answer 1

Creo que lo que más necesitas es una traducción (de las matemáticas al inglés).

1) Para cada uno de los $x$ existe un $y$ tal que $x|y$ (intenta encontrar uno).

2) Para cada uno de los $y$ existe un $x$ tal que $x|y$ (intenta encontrar uno).

3) Existe un valor de $x$ que satisface $x|y$ para cada uno de los $y$ .

4) Existe un valor de $y$ que satisface $x|y$ para cada $x$ .

Answer 2

$$ \newcommand{\and} {~\text{and}~} \newcommand{\or} {\text{or}} \newcommand{\undef} {\text{undefined}}$$

Escribe los enunciados sin cuantificadores. Utilizaré $x|y$ para indicar que $x$ divide $y$ Es decir, que $y$ es divisible por $x$ :

1) $$\forall x \exists y ~ p(x,y) $$

$$\begin{array} {c} (0|0 \or 0|1 \or 0|2 \or 0|3 \dots )\\ \and \\ (1|0 \or 1|1 \or 1|2 \or 1|3 \dots )\\ \and \\ (2|0 \or 2|1 \or 2|2 \or 2|3 \dots )\\ \and \\ \vdots \\ \end{array}$$

La división por cero no está definida. En caso contrario, cada línea horizontal tiene una expresión de la forma $n|n$ (la segunda línea tiene $1|1$ el tercero tiene $2|2$ etc.). Así que la expresión es:

$$\begin{array} {c} (\undef \or \undef \or \undef \or \undef \dots )\\ \and \\ (1|0 \or \top \or 1|2 \or 1|3 \dots )\\ \and \\ (2|0 \or 2|1 \or \top \or 2|3 \dots )\\ \and \\ \vdots \\ \end{array}$$

que es

$$\undef \and \top \and \top \dots$$

Así que toda la expresión es indefinida.

2) $$\forall y \exists x ~ p(x,y) $$

$$\begin{array} {c} (0|0 \or 1|0 \or 2|0 \or 3|0 \dots )\\ \and \\ (0|1 \or 1|1 \or 2|1 \or 3|1 \dots )\\ \and \\ (0|2 \or 1|2 \or 2|2 \or 3|2 \dots )\\ \and \\ \vdots \\ \end{array}$$

Aunque la división por cero es indefinida, el cero es divisible por todo (como $0/x$ es siempre un número entero, $0$ ). Por lo demás, todo es divisible por sí mismo:

$$\begin{array} {c} (\undef \or \top \or \top \or \top \dots )\\ \and \\ (\undef \or \top \or 2|1 \or 3|1 \dots )\\ \and \\ (\undef \or 1|2 \or \top \or 3|2 \dots )\\ \and \\ \vdots \\ \end{array}$$

que es:

$$\top \land \top \land \top \dots$$

lo cual es cierto.

3) $$\exists x \forall y ~ p(x,y) $$

$$\begin{array} {c} (0|0 \and 0|1 \and 0|2 \and 0|3 \and 0|4 \dots )\\ \or \\ (1|0 \and 1|1 \and 1|2 \and 1|3 \and 1|4 \dots )\\ \or \\ (2|0 \and 2|1 \and 2|2 \and 2|3 \and 2|4 \dots )\\ \or \\ (3|0 \and 3|1 \and 3|2 \and 3|3 \and 3|4 \dots )\\ \or \\ \vdots \\ \end{array}$$

En esta ocasión nos fijamos en cómo $n$ nunca divide $n + 1$ , excepto cuando $n=1$ porque $1$ lo divide todo:

$$\begin{array} {c} (\undef \and \undef \and \undef \and \undef \and \undef \dots )\\ \or \\ (\top \and \top \and \top \and \top \and \top \dots )\\ \or \\ (2|0 \and 2|1 \and 2|2 \and \bot \and 2|4 \dots )\\ \or \\ (3|0 \and 3|1 \and 3|2 \and 3|3 \and \bot \dots )\\ \or \\ \vdots \\ \end{array}$$

Que es:

$$\undef \or \top \or \bot \or \bot \dots$$

lo cual es cierto. Eso es bastante complicado.

4) $$\exists y \forall x ~ p(x,y) $$

¿Puedes hacer esto?