Trazado de la elipse $|z-1| + |z-i| < 2 \sqrt{2}$

Question

El problema pide graficar $|z-1| + |z-i| < 2 \sqrt{2}$ .

Así que puedo decir que esto es una elipse y que la distancia de $(1,0)$ y $(0,1)$ suman menos de $2\sqrt{2}$ . Sin embargo, no puedo ver para conseguir esto en $\left (\frac{x}{a} \right )^2 + \left (\frac{y}{b} \right )^2 < 1$ forma.

$|z-1| + |z-i| < 2 \sqrt{2}$

$\sqrt{(a-1)^2 + b^2 }+ \sqrt{(a^2 + (b-1)^2)} < 2 \sqrt{2}$

$2 - 2a + 2a^2 - 2b + 2b^2 + 2 \sqrt{a^2 + (b-1)^2} \sqrt{(a-1)^2 + b^2} < 2 \sqrt{2}$

Pero esto no me ayuda a recopilar términos similares.

Una mayor manipulación algebraica no parece llevar a ninguna parte.

¿Hay algún enfoque diferente que deba probar?

Answer 1

El formulario $(x/a)^2+(y/b)^2=1$ sólo producirá elipses cuyos ejes mayor y menor sean paralelos a los ejes de coordenadas.

Su elipse tiene focos en $1$ y $i$ por lo que su eje mayor no es paralelo a ninguno de los ejes de coordenadas. Por lo tanto, no puede terminar en la forma que buscas.

Su eje principal es $2\sqrt2$ dos veces la distancia focal, por lo que el eje mayor va entre $\frac32 - \frac12i$ y $-\frac12+ \frac32i$ .

Como la longitud del eje mayor es el doble de las distancias focales, los extremos del menor eje estará en las puntas de los dos triángulos equiláteros que tienen los focos como dos de sus vértices, que son $$ \frac12+\frac12i \pm \frac{\sqrt3}2(1+i) $$