Sólo quiero añadir que las oscilaciones alrededor del centro de la Tierra se amortiguan debido al momento de la masa entrante.
Las cifras del volumen de la masa que se come continuamente el agujero negro difieren en órdenes de magnitud según los carteles anteriores. Pero el material consumido al caer dependerá de la sección transversal de este volumen multiplicado por el radio de la Tierra, o de la sección transversal multiplicada por la densidad para la densidad de masa lineal de la trayectoria de destrucción.
Esa materia tiene una energía cinética nula y una energía potencial en función de la altura. El campo gravitatorio es directamente proporcional al radio (debido a la distribución esférica continua) por lo que la energía potencial es $r^2$ función. Escribo el potencial gravitacional de BH como $C R^2 m$ donde R es el radio de la Tierra y m es la masa (kg) de BH y C es alguna constante que no voy a tratar. Denotemos la densidad lineal de la trayectoria de destrucción como $l$ (kg/m), e integrar $C r^2$ potencial para encontrar $1/3 C R^3 l$ al centro de la Tierra, o $2/3 C R^3 l$ al otro lado de la Tierra.
Supongamos que come el material perfectamente y que no hay otras interacciones. Comienza con $C R^2 m$ energía (¡newtoniana!) y m masa. Adquiere $2 l R$ masa en un solo viaje (suponiendo que la masa adquirida sea pequeña en relación con el total y que, por tanto, casi vuelva a tocar la superficie). Encontramos el déficit de energía potencial específica al final de su viaje: (P.E._final/masa_fin) / (P.E._inicial/masa_inicial)-1.
$$\frac{ \frac{ C R^2 m+\frac{2}{3} C R^3 l}{m+2 R l} }{ \frac{C R^2 m}{m} } - 1$$
$$=\frac{m}{m+2 R l} \frac{R^2 m+\frac{2}{3} R^3 l}{R^2 m} - 1$$
$$=\frac{1+\frac{2}{3} \frac{R l}{m} }{1+2 \frac{R l}{m}} - 1 = \frac{1+2 \alpha }{ 1+\frac{2}{3} \alpha} - 1$$
donde $\alpha = R l/m$ parámetro adimensional que representa la fracción de masa inicial añadida por el viaje.
Suponemos que $\alpha \ll 1$ y Taylor ampliar en $\alpha=0$ para encontrar
Déficit energético específico después de un viaje $= -4/3 \alpha$
Mirando más de cerca a alfa, escribe $\alpha = R A \rho/m$ donde A es el área transversal a la que me referí y rho es la densidad de la Tierra.
$$R = 6.4 \times 10^6 m$$ $$A = 1 cm^2$$ $$\rho = 4.0 g/cm^3$$ $$m = 10^{20} kg$$
$\alpha = 2 R l/m = 2.56 \times 10^{-13}$ (fracción de masa de BHs acumulada en medio viaje, suena bien)
Para el cambio de altura debido al viaje, utilice mgh aproximadamente y encuentre
$$( - \frac{4}{3} \alpha ) 6,400,000 m = 2.18 x 10^{-6} m$$ Baja
Cae 2,18 micrometros más bajo al final del viaje. Ahora bien, esto escala directamente con el área consumida, y por tanto con el cuadrado del radio en el que se captura el material. Para obtener un factor de 1e6, ese radio necesitaría 10 metros frente a 1 cm.
Por lo tanto, la amortiguación realmente ES PEQUEÑA, y el destino de la Tierra estaría dictado por cómo se come la materia mientras viaja a altas velocidades a través del núcleo. Voy a ir a decirle a la gente ahora que la razón por la que el LHC es subterráneo es para que un BH no asome por la superficie si ocurre un accidente. Me encanta difundir desinformación.
Editar: Esta fue mi primera respuesta dada en física SE, así que he vuelto a poner las ecuaciones en el formato correcto, aunque la organización de la respuesta probablemente refleja su extraña historia.
