¿A qué velocidad un agujero negro (relativamente) pequeño consumirá la Tierra?

Question

Esta pregunta apareció hace bastante tiempo y fue inspirada, por supuesto, por todo el alboroto en torno al "LHC destruirá la Tierra".

Considere un pequeño agujero negro, que de alguna manera se metió dentro de la Tierra. Con "pequeño" me refiero a lo suficientemente pequeño como para no destruir la Tierra instantáneamente, pero lo suficientemente grande como para no evaporarse debido a la Radiación Hawking . Lo necesito porque quiero que el agujero negro "consuma" la Tierra. Creo que unos valores razonables para la masa serían $10^{15} - 10^{20}$ kilogramos.

Supongamos también que el agujero negro está en reposo respecto a la Tierra.

La pregunta es:
¿Cómo se puede estimar la velocidad a la que la materia sería consumida por el agujero negro en estas circunstancias?

Answer 1

En el LHC, estamos hablando de mini agujeros negros de masa alrededor de $10^{-24}kg$ Así que cuando se habla de $10^{15}-10^{20}kg$ se habla de algo en el rango de la masa de Deimos (la luna más pequeña de Marte) hasta $1/100$ la masa de la Luna. Así que estamos hablando de algo realmente grande.

El radio de Schwarzschild de un agujero negro de este tipo (utilizando la $10^{20}$ valor) sería

$$R_s=\frac{2GM}{c^2}=1.46\times 10^{-7}m=0.146\mu m$$

Podemos considerar que ese radio es una medida de la sección transversal que podemos utilizar para calcular el ritmo de acumulación de masa del BH. Así, la acreción sería un tipo de acreción Bondi (acreción esférica) que daría una tasa de acreción

$$\dot{M}=\sigma\rho u=(4\pi R_s^2)\rho_{earth} u,$$

donde $u$ es una velocidad típica, que en nuestro caso sería la velocidad del sonido y $\rho_{earth}$ es la densidad media del interior de la tierra. La velocidad del sonido en el interior de la Tierra puede evaluarse para que sea en promedio algo así como

$$c_s^2=\frac{GM_e}{3R_e}.$$

Por lo tanto, la tasa de acreción es

$$\dot{M}=\frac{4\pi}{\sqrt{3}}\frac{G^2M_{BH}^2}{c^4}\sqrt{\frac{GM_e}{R_e}}.$$

Se trata de una estimación de orden de magnitud que da algo así como $\dot{M}=1.7\times10^{-6}kg/s$ . Si lo tomamos al pie de la letra, se necesitaría algo así como $10^{23}$ años para que el BH se acumule $10^{24}kg$ . Si tenemos en cuenta el cambio de radio del BH, ese tiempo es probablemente mucho menor, pero incluso entonces sería algo mucho mayor que la edad del universo.

Pero eso no es todo. También hay que tener en cuenta la posibilidad de que la tasa de acreción sea menor debido al límite de Eddington. A medida que la materia se acumula en el BH, se calienta más, ya que la energía potencial gravitatoria se transforma en energía térmica (teorema del virial). La materia irradia entonces con cierta luminosidad característica. La radiación ejerce cierta fuerza de retroceso sobre la materia que se está acumulando, reduciendo la tasa de acumulación. En este caso no creo que este efecto particular juegue ningún papel en la evolución del BH.

Answer 2

Esta cuestión se aborda en Giddings y Mangano, http://arxiv.org/abs/0806.3381 . Véase la ec. 4.31 y el apéndice A. Para un $10^{20}$ kg de agujero negro, la tasa de acreción resulta ser de aproximadamente $10^{13}$ kg/s.

Esto es mayor que la estimación en la respuesta de Vagelford por un factor de $10^{18}$ . La razón de este factor es que Giddings utiliza esencialmente la ecuación de Bernoulli para modelar el flujo de masa, y en este modelo la masa no sólo fluye a la velocidad del sonido $c_s$ hasta llegar al horizonte de sucesos. Si estoy entendiendo bien el cálculo, la masa fluye a la velocidad del sonido hasta que alcanza un determinado radio, que es mayor que el radio de Schwarzschild por un factor de $(c/c_s)^2$ . Incluso sin profundizar en los detalles del cálculo, esto tiene cierto sentido. La materia infalible se moverá a velocidades relativistas, $\sim c$ cuando se acerca al horizonte, no en $c_s$ . Se refieren a este radio efectivo como el radio de Bondi, y la diferencia entre su estimación y la de Vagelford es básicamente que utilizan este radio donde Vagelford utiliza el radio de Schwarzschild. Esto hace que su tasa de acreción sea mayor que la estimación de Vagelford por un factor de $(c/c_s)^4$ o alrededor de $10^{18}$ .

Utilizando el resultado de Giddings, el agujero negro tarda del orden de años en duplicar su masa. No he integrado la ecuación diferencial correspondiente, pero dado que el ritmo es igual al cuadrado de la masa del agujero negro, parece que sólo sería cuestión de décadas que el agujero negro consumiera una fracción significativa de la masa de la Tierra. (Es posible que no la consuma toda debido a la conservación del momento angular, la expulsión de parte de la masa y otros procesos astrofísicos que ocurren cerca del final, donde la estructura de la Tierra se ve gravemente alterada).

Answer 3

Como tengo una respuesta mucho mejor de Vagelford escribiré mi propia versión.

Cuando la materia cae sobre el agujero negro se fracciona e irradia. Por lo que sé (corrígeme si me equivoco) se puede estimar la energía radiada como $\simeq 0.05mc^2$ . Donde $m$ es la masa de la materia que cae.

La materia de la Tierra es atraída por la gravitación del agujero negro y empujada por la radiación. Además, para el flujo de materia $J$ tenemos un sistema de "retroalimentación negativa":

• más grande $J$ -> más radiación -> más materia es "empujada"
• más pequeño $J$ -> menos radiación -> más materia es "atraída"

El equilibrio entre esas fuerzas corresponde a ya mencionado Luminosidad Eddington :
$L (J/s) = 1.3\cdot 10^{21} \frac{M}{M_{sun}}$

Equiparación $L=0.05Jc^2$ y que va a $r_{sh}(m) = 3000 \frac{M}{M_{sun}}$ obtengo:

$J (kg/s) = 100 r_{sh}(m)$

Es notable, que la "velocidad de consumo" para el $10^{20} kg$ agujero negro ( $r_{sh} = 148.5\mu m$ , mira aquí ) le dará $1.48\cdot10^{-5}$ kg/s. Lo cual es un orden de magnitud mayor que la estimación de Vagelford.

Answer 4

Si el agujero negro simplemente hinchara la materia, y no perdiera ninguna energía, probablemente no sea un cálculo demasiado difícil, sólo hay que suponer que la tierra es masa no soportada que cae en el BH, que crece en masa a medida que añade más cosas. El problema, es que sabemos que esto no es como sucedería, y alguna fracción significativa de la masa tragada será liberada como energía, tal vez uno a unos pocos por ciento de mC**2. Así que la energía liberada al tragar masa, es órdenes de magnitud mayor por unidad de masa que una bomba de H. Evidentemente, la mayor parte de la masa de los planetas saldría despedida, y sólo una pequeña cantidad acabaría incorporada al BH. Yo apostaría a que esto ocurriría extremadamente rápido, y la onda de choque que destroza el planeta probablemente sólo tardaría unos segundos. Hay que tener en cuenta que el tiempo de caída libre hasta el centro de la Tierra es probablemente más bien de media hora (orden de magnitud), por lo que la mayor parte del planeta ni siquiera empezaría a caer antes de que la energía liberada lo destrozara.

Answer 5

Se necesitaría mucho tiempo si hacemos un cálculo al revés.

• el agujero negro ejercería una fuerza de 1g a unos 20 km (suponiendo 10^20 kg de masa).
• si podemos suponer razonablemente que la masa dentro de esta esfera va a ser absorbida rápidamente, eso significaría que la masa del agujero negro aumenta correspondientemente.
• Por otro lado, esta masa adicional puede calcularse también en torno a 10^20 kg. Así que podemos esperar que el radio de 1g no aumente significativamente.
• Creo que una masa con menos de 1g de atracción tardará mucho en entrar en espiral dentro del agujero negro, ya que su tamaño (radio de Shwartzchild) estaría en la escala del micrómetro y los tamaños implicados en la escala del kilómetro.

Espero que esto ayude.