Iré actualizando esto a medida que vaya encontrando respuestas a tus otras preguntas.
Primera pregunta
Geiger y Marsden en realidad hicieron varios experimentos todos muy relacionados (y todos explicados en este sitio web ). El relacionado con tu pregunta se hizo en 1913, para probar relaciones que Rutherford calculó y publicó en un artículo de 1911 (The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom).
Geiger y Marsden no sabían cuál era la carga positiva del núcleo de sus metales (al fin y al cabo acababan de descubrir el núcleo), pero supusieron que era proporcional al peso atómico. En concreto, comprobaron si era proporcional al peso atómico al cuadrado. Así que lo que hicieron fue utilizar el aparato que se muestra a continuación.
Cubrieron los agujeros del disco con láminas de oro, estaño, cobre y aluminio y midieron el poder de detención de cada lámina equiparándolo con un espesor equivalente de aire. Contaron el número de centelleos por minuto que la lámina producía en la pantalla. A continuación, dividieron los centelleos por minuto entre el equivalente de aire de la lámina y, después, volvieron a dividirlos por la raíz cuadrada del peso atómico. Así, Geiger y Marsden obtuvieron el número fijo de centelleos que produce un número fijo de átomos para cada metal. Luego, para cada metal, dividieron este número por el cuadrado del peso atómico y comprobaron que las proporciones eran más o menos las mismas. Por lo tanto, demostraron que $s ∝ Q_n^2$ (donde $Q_n$ es la carga positiva del núcleo atómico).
Segunda pregunta
Para su segunda pregunta, sobre el experimento de Moseley, sí, eran rayos X característicos. Este sitio web ofrece más información sobre la ley de Moseley y este sitio web ofrece más información sobre el propio Moseley y sus otros logros (dato curioso: predijo la existencia del elemento 61, que acabó llamándose prometio).
En respuesta a la segunda parte de su segunda pregunta, el espectro de la luz emitida por los átomos es proporcional al cuadrado de $Z$ la carga de su núcleo (en el modelo de Bohr del átomo). Moseley pudo confirmar que el espectro de luz emitido era efectivamente proporcional a $Z$ y formuló la ley de Moseley:
$${\sqrt f}=k_{1}\cdot \left(Z-k_{2}\right)$$
Donde $f$ es la del principal, o $K$ línea de emisión de rayos X, y $k_1$ y $k_2$ son constantes que dependen del tipo de línea.
Tercera pregunta
Para tu tercera pregunta, utilizó el berilio para crear radiación. Luego apuntó la radiación a la parafina, y como la parafina tiene un alto contenido de hidrógeno y por lo tanto ofrece un blanco denso en protones, y los neutrones tienen casi la misma masa, los protones se dispersaron fácilmente cuando la radiación los golpeó. Chadwick observó la distancia a la que se dispersaban los protones y cómo la radiación impactaba en los átomos de varios gases y concluyó que la radiación estaba formada por partículas sin carga con aproximadamente la misma masa que el protón, es decir, el neutrón.
Ahora, para saber por qué el berilio emitía neutrones. (Ver este sitio web para más información; aquí se ofrece un resumen). $^9Be$ libera más neutrones de los que absorbe - este isótopo en particular sufre una reacción (n, 2n), que puede describirse a continuación como
$$\frac {9}{4}Be + n → 2(\frac {4}{2}He) + 2n$$
Los neutrones también pueden liberarse cuando los núcleos de berilio son golpeados por partículas alfa energéticas y cuando el berilio es bombardeado por rayos gamma.
Cuarta pregunta
No estoy seguro de entender esta pregunta. Sí, los espectrómetros de masas calculan la relación carga-masa, pero también se detectan mediante un mecanismo como un multiplicador de electrones y los átomos/iones de la muestra pueden correlacionarse con patrones de fragmentación conocidos. Este sitio web y este sitio web puede serle útil; especialmente el segundo enlace.
Espero que esto ayude.