Sustitución de la suma por la integral

Question

Estoy considerando la siguiente suma

$$\displaystyle \sum_{m \in \mathbb{Z}^d \backslash \{0\}}\frac{J^{2}_{d/2}(\rho|m|)}{|m|^d},$$

donde $J_{\nu}$ denota la función de Bessel del primer tipo, y $\rho > 0$ es independiente de $m$ y $d$ . Me gustaría poder hacerlo:

$$\displaystyle \sum_{m \in \mathbb{Z}^d \backslash \{0\}}\frac{J^{2}_{d/2}(\rho|m|)}{|m|^d} \sim \int_{|\alpha| \geqslant 1}\frac{J^{2}_{d/2}(\rho|\alpha|)}{|\alpha|^{d}} \ \mathrm{d}\alpha,$$

porque la integral de esa expresión es mucho más fácil de tratar que la suma. (Soy consciente de que se puede acotar la función de Bessel en la suma para obtener algo convergente, pero no quiero hacerlo). Sin embargo, me gustaría saber si esto es válido. Obviamente, no es necesariamente cierto que la integral limite la suma desde arriba porque el sumando no es monótonamente decreciente -- es no negativo, pero tiene muchas oscilaciones. ¿Podemos estimar la suma por la integral de esta manera? ¿Hay alguna forma de justificar esto?

Answer 1

Se le permite reemplazar $\sum$ con $\int$ por las siguientes razones:

1. Problema del círculo de Gauss en dimensión $d$ . Para cualquier tamaño moderado $R$ el número de puntos de la red en $\mathbb{Z}^d$ con un módulo entre $R-\frac{1}{2}$ y $R+\frac{1}{2}$ es (muy) cercana a la superficie del $d$ -Esfera de dimensiones con radio $R$ ;
2. Las desigualdades de Tricomi. Por la ecuación diferencial de Bessel, $z\cdot J_{d/2}(z)^2$ es (muy) cercana a una onda coseno cuadrada.

La integral resultante no es difícil de calcular. Integrando a lo largo de las cáscaras, $$ \int_{\mathbb{R}^d}\frac{J_{d/2}^2(\rho|\alpha|)}{|\alpha|^d}\,d\alpha = \frac{2\pi^{d/2}}{\Gamma(d/2)}\int_{0}^{+\infty}\frac{J_{d/2}^2(\rho z)}{z}\,dz=\color{red}{\frac{\pi^{d/2}}{(d/2)!}}.$$ Este es exactamente el volumen del bola de la unidad en dimensión $d$ .

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No por casualidad, Método de Voronoi para mejorar el término de error en el problema del círculo de Gauss para $d=2$ emplea funciones de Bessel, ya que surgen de la transformada de Fourier de la función característica de una bola.