mostrar $(V_1 \cap V_3)+(V_2 \cap V_3)=(V_1+V_2)\cap V_3$ si $ V_1 \subset V_3$

Question

Dejemos que $V_{1,2,3}$ sean espacios vectoriales. Queremos mostrar la ecuación anterior.

Mi intento: \begin{align*} (V_1 \cap V_3)+(V_2 \cap V_3) & =\left \{ v: \exists u_1 \in V_1 , \ u_2 \in V_2 \cap V_3, \ v = u_1 + u_2 \right \} \\ & = \left \{v : \exists u_1 \in V_1, \ (u_2 \in V_2 \wedge u_2 \in V_3), \ v = u_1 + u_2 \right \} \\ & = \left \{ v : \exists u_1 \in V_1, \ u_2 \in V_2, \ v = u_1 + u_2 \right \} \\ & \qquad \qquad \cap \left \{ v: \exists u_1 \in V_1, \ u_2 \in V_3, \ v = u_1 + u_2 \right\} \\ & = (V_1 + V_2)\cap(V_1 + V_3) \\ & \overset{V_1 \subset V_3}{=} (V_1+V_2) \cap V_3 \end{align*}

Tengo serias dudas de que me esté perdiendo algo aquí. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Creo que tu principal problema es empantanarte con los símbolos, unas pocas palabras aquí y allá pueden hacer las cosas más fáciles de escribir y entender.

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Vamos a mostrar ambas inclusiones por separado.

Primero demostraremos que $(V_1 + V_2)\cap V_3 \subseteq (V_1 \cap V_3) + (V_2 \cap V_3)$ .

Tome $v \in (V_1 + V_2)\cap V_3$ . Entonces se puede escribir como $v = v_1 + v_2$ para algunos $v_1\in V_1$ y $v_2 \in V_2$ .

En realidad encontramos que $v_1,v_2\in V_3$ automáticamente. ¿Por qué? Pues porque $v_1\in V_1 \subset V_3$ y $v\in V_3$ Por lo tanto $v_2 = v - v_1 \in V_3$ desde $V_3$ es un espacio vectorial.

Así, $v \in (V_1 \cap V_3) + (V_2 \cap V_3)$ .

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Ahora, la otra inclusión, $(V_1 \cap V_3) + (V_2 \cap V_3)\subseteq (V_1 + V_2)\cap V_3 $ .

Tome $v \in (V_1 \cap V_3) + (V_2 \cap V_3)$ . Entonces $v = v_1 + v_2$ donde $v_1\in V_1$ , $v_2 \in V_2$ y $v_1,v_2\in V_3$ . Ahora $v_3$ es un espacio vectorial, por lo que $v_1+v_2\in V_3$ y claramente $v_1+v_2\in V_1+V_2$ . Así que $v \in (V_1+V_2)\cap V_3$ .