Estoy trabajando en un problema numérico que implica las dos secuencias:
$$\begin{align} &A_{n+1} = A_{n}+f(n)A_{n-1}\qquad\text{with n={1,2,...}}\\ &B_{n+1} = B_{n}+f(n)B_{n-1} \end{align}$$
(donde f(n) es alguna función, y $A_{0}=0$ , $A_{1}=const$ , $B_{0}=B_{1}=1$ .)
f(n) y $A_{1}=const$ se eligen de forma que $|A_{n}|$ y $|B_{n}|$ divergen para $n\rightarrow\infty$ pero la fracción
$$C_n=\frac{A_{n}}{B_{n}}$$
converge a algún valor para $n\rightarrow\infty$ . Desde el punto de vista numérico, yo simplemente definiría un límite N en el que se aceptaría este valor. La cuestión aquí es que tanto $A_{n}$ y $B_{n}$ se hacen tan grandes que mi compilador ya no puede manejarlos (cada uno se acerca a valores del orden de $10^{300}$ y más), lo que analíticamente no supondría un problema, ya que estos números grandes se cancelan en la fracción.
Para solucionar este problema, he pensado en hacer lo siguiente:
- Reescribiendo la expresión algebraica de forma que $C_n$ se determina directamente en cada paso n, y que $A_n$ y $B_n$ nunca se calculan individualmente. Después de todo, no me interesa $A_{n}$ y $B_{n}$ pero sólo en su proporción $C_{n}$ .
- Introduciendo un factor de amortiguación para $A_{n}$ y $B_{n}$ en cada paso n para evitar que ambas secuencias diverjan. Este factor se anularía entonces al aparecer en el numerador y el denominador.
No tuve mucho éxito con ninguna de estas dos ideas. ¿Puede alguien ayudarme a resolver este problema, ya sea aplicando una de mis dos sugerencias o proponiendo una alternativa?
