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Amalgamas asféricas sin mapas inyectivos

La situación en la que me encuentro es la siguiente: Tengo un complejo de CW $X$ que está cubierto por dos subcomplejos $A$ y $B$ y sé que $A$ , $B$ y $A \cap B$ están conectados y son asféricos. El término asférico significa que todos los grupos homotópicos superiores $\pi_i(-)$ para $i\geq 2$ desaparecer. Recordemos que el teorema de Seifert van Kampen implica que el grupo fundamental de $X$ es la amalgama $A\ast_{A\cap B} B$ .

Ahora había pensado que las inclusiones $\pi_1(A\cap B \rightarrow A)$ y $\pi_1(A\cap B\rightarrow B)$ eran ambos inyectables. En esta situación existe un Teorema que afirma que $X$ es a su vez asférico, por lo que su tipo de homotopía está descrito por su grupo fundamental $A\ast_{A\cap B} B$ . Sin embargo ahora he aprendido que mis mapas no son inyectivos, sin embargo todavía tengo fuertes razones para creer que mi espacio $X$ es asférico.

Puedo demostrar que $\pi_1(A\cap B\rightarrow A\times B)$ es inyectiva, por lo que quiero que se cumpla lo siguiente:

Teorema(?)

Supongamos que $X$ , $A$ , $B$ y $A\cap B$ son como los anteriores y que $\pi_1(A\cap B\rightarrow A\times B)$ es inyectiva. Entonces $X$ es asférica.

Puedo esbozar una prueba: el paso principal es demostrar que cualquier $\phi\in\pi_2(X;A\cap B)$ puede descomponerse en un producto de $\phi_A\in\pi_2(A;A\cap B)$ y $\phi_B\in\pi_2(B;A\cap B)$ . Entonces en la larga secuencia exacta de grupos de homotopía asociados a $(X;A\cap B)$ el elemento $\phi$ viene de $\pi_2(X)$ sólo si las imágenes de $\phi_A$ y $\phi_B$ en $\pi_1(A\cap B)$ son inversos. Pero estas imágenes deben estar en los núcleos de los respectivos mapas en $\pi_1(A)$ y $\pi_1(B)$ por lo que, por la hipótesis de inyectividad, son triviales. Pero ahora las secuencias exactas largas para $(A;A\cap B)$ y $(B;A\cap B)$ implican que $\phi_A$ y $\phi_B$ son homotópicos nulos y, por tanto, también lo son $\phi$ .

Pero no he podido encontrar el resultado en la literatura.

Preguntas

  1. ¿Es cierto este teorema?
  2. ¿Hay alguna referencia para este resultado?
  3. ¿Hay algún ejemplo conocido de esta situación? Está claro que cualquier amalgama de grupos puede convertirse en una en la que los mapas sean inyectivos, sin embargo los grupos así obtenidos pueden no ser en sí mismos tan bonitos como aquellos con los que empezamos. En mi caso, los grupos fundamentales pasan de estar finitamente presentados a estar sólo finitamente generados.

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Anne-Laure Puntos 26

Contraejemplo: La unión de $A=D^2\times S^1$ y $B=S^1\times D^2$ es homeomorfo a $S^3$ .

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