El anillo de enteros no es un campo

Question

Dejemos que $K$ sea una extensión finita de $\mathbb{Q}$ (es decir $K$ es un campo numérico). Sea $\mathbb{B}$ sea el conjunto de todos los enteros algebraicos. Dentro de $K$ tenemos el llamado anillo de enteros $\mathcal{O}_{K}=K\cap\mathbb{B}$ .

Se puede comprobar que $\mathcal{O}_{K}$ es un anillo. Sospecho fuertemente que $\mathcal{O}_{K}$ no es un campo. ¿Hay alguna manera fácil de ver esto?

Answer 1

Una pista: $\mathcal{O}_K$ es una extensión integral de $\mathbb{Z}$ . Si $R\subseteq S$ es una extensión integral, entonces $R$ es un campo si $S$ es un campo.

Answer 2

$2 \in \mathcal{O}_K$ . $\frac{1}{2}$ no es un entero algebraico, y por tanto no está en $\mathcal{O}_K$ .