Comprender la $\operatorname{link}$ de un simplex $\sigma$

Question

Tengo una pregunta que dice lo siguiente:

Dejemos que $K$ sea un complejo simplicial abstracto y $\sigma \in K$ . Definir el enlace de $\sigma$ de la siguiente manera:

$$\operatorname{link}_\sigma(K) := \{\tau \in K | \tau \cap \sigma = \emptyset \, ,\, \tau \cup \sigma \in K\}$$

Demuestre que el enlace es un complejo simplicial.

Entonces, como pregunta de seguimiento,

Sea K el octaedro. Dibuja el enlace de $\sigma$ cuando $\sigma$ es

(i) un vértice

(ii) un borde

(iii) un 2-simplex.

No sé cómo empezar. ¿Alguien puede aconsejarme sobre cuáles son las condiciones de prueba de un complejo simplicial y cómo proceder para demostrarlas?

Además, si alguien tiene una explicación más intuitiva sobre lo que es un enlace para ayudarme a imaginar y dibujar el enlace de $\sigma$ Le estaría muy agradecido.

Answer 1

Hay una bonita foto de qué enlaces hay en Wikipedia :

El enlace de un simplex $\sigma$ es el conjunto de símiles $\tau$ que no se cruzan $\sigma$ pero tal que $\sigma \cup \tau$ también es un simplex. Esto es, por supuesto, idéntico a la definición traducida en inglés, pero espero que ayude.

Así que para el octaedro. Tu primera tarea debería ser dibujar uno:

y luego numerar los vértices desde $1$ a $6$ . Digamos que $1$ es el vértice de la izquierda, $2,3,4,5$ son los vértices del cuadrado del medio en el orden de las agujas del reloj, y $6$ es el vértice de la derecha. Entonces puedes escribir exactamente cuáles son los símiles en $K$ . Es una tarea un poco complicada: hay 6 vértices, 12 aristas y 8 caras, así que en total $1+6+12+8=27$ simplices (no hay que olvidar el conjunto vacío).

Ahora quieres encontrar los enlaces.

Empecemos por el enlace de un vértice. Mira el vértice $1$ a la izquierda, por ejemplo. Estás buscando simplices $\tau$ que 1. no contengan el vértice de la izquierda ( $1 \not\in \tau$ ), y 2. cuando se toma la unión $\{1\} \cup \tau$ , éste sigue siendo un vértice de $K$ .

• Por ejemplo, ¿el vértice de la derecha pertenece al enlace? En otras palabras, ¿es $\{1\} \cap \{6\} = \varnothing$ y $\{1, 6\} \in K$ ? La primera condición está bien, pero la segunda no porque no hay ningún borde entre $1$ y $6$ . Para los otros cuatro vértices, las dos condiciones están bien, porque hay una arista desde $1$ al vértice. Así que en $\operatorname{lk} \{1\}$ los vértices son $\{2,3,4,5\}$ .

• ¿Y los bordes? ¿Una arista entre dos elementos de $\{2,3,4,5\}$ ¿pertenecen al enlace? Sí: si tomas una arista de este tipo y añades el vértice $1$ entonces se trata de un simplex del octaedro: hay caras $\{1,2,3\}, $ {1,3,4} etc. Así que todo el cuadrado del centro del octaedro está incluido en el enlace de $1$ .

• No hay $2$ -entre los vértices de $\{2,3,4,5\}$ así que hemos terminado: el enlace del vértice de la derecha es el cuadrado del centro, entre las partes naranja/rosa y verde.

Ahora espero que puedas intentar encontrar los enlaces de una arista y de una cara. Es el tipo de ejercicio que no "entiendes" si no lo haces tú mismo, así que te dejo con ello.