Demostrando que $(v_1 - v_2, v_2 - v_3, \dots, v_{n - 1} - v_n, v_n)$ abarca $V$ si $(v_1, \dots, v_n)$ abarca $V$

Question

¿Alguien sabe cómo demostrar lo siguiente sin usar determinantes? Nuestra clase utiliza el libro de texto de Axler, que presenta el álgebra lineal sin determinantes.

Demostrar que si $(v_1, \dots, v_n)$ abarca $V$ entonces también lo hace $(v_1 - v_2, v_2 - v_3, \dots, v_{n - 1} - v_n, v_n)$ que se obtiene restando a cada vector (excepto al último) el siguiente.

Claramente, usted podría demostrar que $\det(A) \neq 0$ donde las columnas de $A$ son los vectores respectivos en el segundo conjunto de spanning, pero estoy buscando otra manera.

Answer 1

Tiene que demostrar que cada uno de $v_1,\ldots,v_n$ pueden obtenerse como combinaciones lineales de $v_1-v_2,\ldots,v_{n-1}-v_n,v_n$ .

Tenemos $$ v_n=v_n,\ v_{n-1}=(v_{n-1}-v_n)+v_n,\ \ldots,v_2=(v_2-v_3)+v_2,\ v_1=(v_1-v_2)+v_2. $$