Calcular la covarianza entre max(X,Y) y min(X,Y)

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean variables aleatorias discretas independientes, cada una de las cuales toma valores $1$ y $2$ con probabilidad $1/2$ cada uno. ¿Cómo puedo calcular la covarianza entre $max(X,Y)$ y $min(X,Y)$ ?

Answer 1

Primero, $$\begin{array}{} \mathrm{P}(\max(X,Y)=2)=\frac34\qquad\text{and}\qquad\mathrm{P}(\max(X,Y)=1)=\frac14\\ \mathrm{P}(\min(X,Y)=2)=\frac14\qquad\text{and}\qquad\mathrm{P}(\min(X,Y)=1)=\frac34\\ \end{array}$$ Por lo tanto, $$\mathrm{E}(\max(X,Y))=\frac74\qquad\text{and}\qquad\mathrm{E}(\min(X,Y))=\frac54$$ Además, $$\begin{align} \mathrm{P}(\max(X,Y)\min(X,Y)=4)=\mathrm{P}(\min(X,Y)=2)&=\frac14\\ \mathrm{P}(\max(X,Y)\min(X,Y)=2)\hphantom{\ =\mathrm{P}(\min(X,Y)=2)}&=\frac12\\ \mathrm{P}(\max(X,Y)\min(X,Y)=1)=\mathrm{P}(\max(X,Y)=1)&=\frac14\\ \end{align}$$ Por lo tanto, $$\mathrm{E}(\max(X,Y)\min(X,Y))=\frac94$$ Así, $$\begin{align} &\mathrm{Cov}(\max(X,Y),\min(X,Y))\\ &=\mathrm{E}(\max(X,Y)\min(X,Y))-\mathrm{E}(\max(X,Y))\mathrm{E}(\min(X,Y))\\ &=\frac1{16} \end{align}$$

Answer 2

Dejemos que $W=\min\{X,Y\}$ y $Z=\max\{X,Y\}$ entonces la covarianza deseada es $\mathrm{E}[WZ]-\mathrm{E}[W]\mathrm{E}[Z]$ . $W=1$ a menos que $X=Y=2$ Así que $\mathrm{Pr}(W=1)=\frac34$ y $\mathrm{Pr}(W=2)=\frac14$ y por lo tanto

$$\mathrm{E}[W]=\frac34\cdot1+\frac14\cdot2=\frac54\;.$$

El cálculo de $\mathrm{E}[Z]$ es similar. También lo es la de $\mathrm{E}[WZ]$ : sólo hay que promediar las cuatro posibilidades según sus respectivas probabilidades.