Prob. 4, Sec. 3.9 en el libro INTRODUCTORY FUNCTIONAL ANALYSIS WITH APPLICATIONS de Erwine Kreyszig: Imagen de un conjunto bajo el operador adjunto

Question

Aquí está el Prob. 4, Sec. 3.9 en Análisis funcional introductorio con aplicaciones por Erwine Kreyszig:

Dejemos que $H_1$ y $H_2$ sean espacios de Hilbert, y sea $T \colon H_1 \to H_2$ sea un operador lineal acotado. Si $M_1 \subset H_1$ y $M_2 \subset H_2$ y si $T(M_1) \subset M_2$ , demuestran que $T^*(M_2^\perp) \subset M_1^\perp$ .

Aquí $T^*$ denota el operador adjunto de Hilbert de $T$ .

Aquí está mi prueba:

Dejemos que $x \in M_2^\perp$ . Entonces $$\langle x, v \rangle = 0 \ \mbox{ for all } \ v \in M_2.$$ Así, en particular, tenemos $$\langle x, Tu \rangle = 0 \ \mbox{ for all } \ u \in M_1 $$ porque $Tu \in M_2$ siempre que $u \in M_1$ .

Pero $\langle x, Tu \rangle = \langle T^*x, u \rangle$ por la definición de $T^*$ . Así que podemos concluir que $$\langle T^* x , u \rangle = 0 \ \mbox{ for all } \ u \in M_1,$$ y por lo tanto $T^* x \in M_1^\perp$ siempre que $x \in M_2^\perp$ según sea necesario.

¿Es correcta la prueba anterior?

¿Ahora podemos derivar el siguiente resultado?

Si $M_1 \subset H_1$ , $M_2 \subset H_2$ y $T(M_1) \subset M_2$ entonces $T^*(M_2) \subset M_1$ .

Sé que esto es cierto si $M_1$ y $M_2$ son subespacios cerrados de $H_1$ y $H_2$ , respectivamente; de hecho, para subespacios cerrados, podemos incluso hacer la afirmación if y only if.

Pero, ¿se mantiene este resultado de otra manera?

Answer 1

Su parte inicial de la prueba es correcta. Pero incluso para el subespacio cerrado $M_1$ y $M_2$ se puede tener un operador acotado $T$ en $H$ tal que $T(M_1)\subset M_2$ mais $T^*(M_2)\nsubseteq M_1$ .

Por ejemplo $H = l^2(\mathbb{N})$ y elija $M_1= M_2 =\{(a_n)\in l^2(\mathbb{N})|a_1=0\}$ . Consideremos ahora el operador de desplazamiento hacia delante como $T$ es decir \begin{align} T\big((a_1,a_2,a_3,\cdots) \big)= (0,a_1,a_2,a_3,...) \end{align} Así que tendremos $T^*$ como operador de desplazamiento hacia atrás, es decir \begin{align} T\big((a_1,a_2,a_3,\cdots) \big)= (a_2,a_3,a_4,...) \end{align} Tenga en cuenta que $T(M_1) = \{(a_n)\in l^2(\mathbb{N})|a_1=0,a_2=0\}$ . Pero $M_2= M_1$ no es invariable bajo $T^*$ . De hecho resulta que en este caso, $T^*(M_2)= H$ .