El ejemplo de la función de Busemann no es un agotamiento cuando Ricci $\ge 0$

Question

Para una variedad riemanniana completa abierta $M$ con curvatura seccional no negativa, la función de Busemann definida a continuación es una función de agotamiento convexa (por la prueba del teorema del alma de Cheeger-Gromoll)

La función Buesemann: $$b(x)=\sup_{\gamma} b_{\gamma}(x)$$ donde el $sup$ se toma sobre todos los rayos desde un punto determinado y $b_{\gamma}$ es la función de Busemann asociada al rayo $\gamma$ :

$$b_{\gamma}(x)=\lim_{t\to \infty}(t-d(x, \gamma(t))$$

Una función $f:M\to \mathbb [a,\infty)$ se llama función de agotamiento en $M$ si su conjunto de subniveles $\Omega_c:=f^{-1}((-\infty, c])$ es compacto para todos los $c$ y $M=\cup_c \Omega_c$ .

Me pregunto que cuando suponemos que la curvatura de Ricci es no negativa, ¿hay algún ejemplo en el que la función de Busemann $b$ ¿no es un agotamiento? (En este caso la función de Busemann es subarmónica).

Answer 1

Esta es una pregunta interesante. No tengo una respuesta, pero quiero aclarar lo que se pregunta, ya que parece haber cierta confusión sobre el tema.

Dado un punto $p$ y un rayo $\gamma$ a partir de $p$ definir su función Busemann $b_\gamma(x)$ mediante la fórmula $b_\gamma(x)=\lim_{t\to\infty}(t-d(x,\gamma(t)))$ . Se sabe que esta función es convexa si la curvatura seccional es no negativa (es una consecuencia fácil de la comparación de Toponogov). Entonces se puede definir $b=\sup_\gamma b_\gamma$ donde el supremum se toma sobre todo rayos a partir de $p$ . Si $sec\ge 0$ entonces los conjuntos de subniveles de $b$ son convexos. Si un conjunto de subniveles de $b$ fuera no compacto, contendría un rayo que empezaría en $p$ lo que contradice la definición de $b$ .

Este argumento no sirve para $Ric\ge 0$ porque en este caso la función Busemann $b$ sólo se sabe que es subarmónica y no convexa.

Así que la pregunta es si sigue siendo cierto que los conjuntos de subniveles de $b$ son compactas para las variedades de curvatura Ricci no negativa.

Perdón por publicar esto como respuesta pero era demasiado largo para el campo de comentarios.

Answer 2

Siento que no sea una respuesta. Hace poco me encontré con una pregunta similar y encontré una referencia.

Si la variedad tiene Ricci no negativo y crecimiento de volumen euclidiano, entonces la función de Busemann es una función de agotamiento. Este es un resultado debido a Zhongmin Shen.

Véase P400 Lemma 3.4 en Shen, Zhongmin, Complete manifolds with nonnegative Ricci curvature and large volume growth. Invent. Math. 125 (1996), no. 3, 393-404.

Pero no he comprobado los detalles de este resultado.